Rezolvați x^2-70x+325=0

$${ x }^{ 2 } -70x+325 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=5$$

$$x=65$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-70x+325 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-70 ab=325$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 325.

$$-1,-325 -5,-65 -13,-25$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-325=-326 -5-65=-70 -13-25=-38$$

Soluția este perechea care dă suma de -70.

$$a=-65 b=-5$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-65\right)\left(x-5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-65=0 și x-5=0.

$$x=65 x=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+325. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-70 ab=1\times 325=325$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 325.

$$-1,-325 -5,-65 -13,-25$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-325=-326 -5-65=-70 -13-25=-38$$

Soluția este perechea care dă suma de -70.

$$a=-65 b=-5$$

Rescrieți x^{2}-70x+325 ca \left(x^{2}-65x\right)+\left(-5x+325\right).

$$\left(x^{2}-65x\right)+\left(-5x+325\right)$$

Factor x în primul și -5 în al doilea grup.

$$x\left(x-65\right)-5\left(x-65\right)$$

Scoateți termenul comun x-65 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-65\right)\left(x-5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-65=0 și x-5=0.

$$x=65 x=5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-70x+325=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -70 și c cu 325 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{\left(-70\right)^{2}-4\times 325}}{2}$$

Ridicați -70 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-4\times 325}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 325.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-1300}}{2}$$

Adunați 4900 cu -1300.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{3600}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 3600.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±60}{2}$$

Opusul lui -70 este 70.

$$x=\frac{70±60}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{70±60}{2} atunci când ± este plus. Adunați 70 cu 60.

$$x=\frac{130}{2}$$

Împărțiți 130 la 2.

$$x=65$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{70±60}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 60 din 70.

$$x=\frac{10}{2}$$

Împărțiți 10 la 2.

$$x=5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=65 x=5$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-70x+325=0$$

Scădeți 325 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-70x+325-325=-325$$

Scăderea 325 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-70x=-325$$

Împărțiți -70, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -35. Apoi, adunați pătratul lui -35 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-70x+\left(-35\right)^{2}=-325+\left(-35\right)^{2}$$

Ridicați -35 la pătrat.

$$x^{2}-70x+1225=-325+1225$$

Adunați -325 cu 1225.

$$x^{2}-70x+1225=900$$

Factor x^{2}-70x+1225. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-35\right)^{2}=900$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-35\right)^{2}}=\sqrt{900}$$

Simplificați.

$$x-35=30 x-35=-30$$

Adunați 35 la ambele părți ale ecuației.

$$x=65 x=5$$