Rezolvați x^2-6x-27=0

$${ x }^{ 2 } -6x-27 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-3$$

$$x=9$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori x^{2}-6x-27 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-6 ab=-27$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -27 de produs.

$$1,-27 3,-9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

Soluția este perechea care dă suma de -6.

$$a=-9 b=3$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-9=0 și x+3=0.

$$x=9 x=-3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-27. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-6 ab=1\left(-27\right)=-27$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -27 de produs.

$$1,-27 3,-9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

Soluția este perechea care dă suma de -6.

$$a=-9 b=3$$

Rescrieți x^{2}-6x-27 ca \left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 3 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(x-9\right)+3\left(x-9\right)$$

Scoateți termenul comun x-9 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-9=0 și x+3=0.

$$x=9 x=-3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-6x-27=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -6 și c cu -27 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-27\right)}}{2}$$

Ridicați -6 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-27\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -27.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+108}}{2}$$

Adunați 36 cu 108.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{144}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 144.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±12}{2}$$

Opusul lui -6 este 6.

$$x=\frac{6±12}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{6±12}{2} atunci când ± este plus. Adunați 6 cu 12.

$$x=\frac{18}{2}$$

Împărțiți 18 la 2.

$$x=9$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{6±12}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 12 din 6.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Împărțiți -6 la 2.

$$x=-3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=9 x=-3$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-6x-27=0$$

Adunați 27 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-6x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Scăderea -27 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-6x=-\left(-27\right)$$

Scădeți -27 din 0.

$$x^{2}-6x=27$$

Împărțiți -6, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -3. Apoi, adunați pătratul lui -3 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=27+\left(-3\right)^{2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x^{2}-6x+9=27+9$$

Adunați 27 cu 9.

$$x^{2}-6x+9=36$$

Factorul x^{2}-6x+9. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=36$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Simplificați.

$$x-3=6 x-3=-6$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$x=9 x=-3$$