Rezolvați x^2-6x+11=0

$${ x }^{ 2 } -6x+11 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1,414213562i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -6 și c cu 11 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

Ridicați -6 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 11.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}$$

Adunați 36 cu -44.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

Opusul lui -6 este 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} atunci când ± este plus. Adunați 6 cu 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}$$

Împărțiți 6+2i\sqrt{2} la 2.

$$x=3+\sqrt{2}i$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{2} din 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}$$

Împărțiți 6-2i\sqrt{2} la 2.

$$x=-\sqrt{2}i+3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Scădeți 11 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-6x+11-11=-11$$

Scăderea 11 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-6x=-11$$

Împărțiți -6, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -3. Apoi, adunați pătratul lui -3 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x^{2}-6x+9=-11+9$$

Adunați -11 cu 9.

$$x^{2}-6x+9=-2$$

Factor x^{2}-6x+9. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Simplificați.

$$x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$