Rezolvați x^2-65x+64=0

$${ x }^{ 2 } -65x+64=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=64$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-65x+64 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-65 ab=64$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 64.

$$-1,-64 -2,-32 -4,-16 -8,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-64=-65 -2-32=-34 -4-16=-20 -8-8=-16$$

Soluția este perechea care dă suma de -65.

$$a=-64 b=-1$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-64\right)\left(x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-64=0 și x-1=0.

$$x=64 x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+64. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-65 ab=1\times 64=64$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 64.

$$-1,-64 -2,-32 -4,-16 -8,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-64=-65 -2-32=-34 -4-16=-20 -8-8=-16$$

Soluția este perechea care dă suma de -65.

$$a=-64 b=-1$$

Rescrieți x^{2}-65x+64 ca \left(x^{2}-64x\right)+\left(-x+64\right).

$$\left(x^{2}-64x\right)+\left(-x+64\right)$$

Factor x în primul și -1 în al doilea grup.

$$x\left(x-64\right)-\left(x-64\right)$$

Scoateți termenul comun x-64 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-64\right)\left(x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-64=0 și x-1=0.

$$x=64 x=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-65x+64=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -65 și c cu 64 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 64}}{2}$$

Ridicați -65 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 64}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 64.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-256}}{2}$$

Adunați 4225 cu -256.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{3969}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 3969.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±63}{2}$$

Opusul lui -65 este 65.

$$x=\frac{65±63}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{65±63}{2} atunci când ± este plus. Adunați 65 cu 63.

$$x=\frac{128}{2}$$

Împărțiți 128 la 2.

$$x=64$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{65±63}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 63 din 65.

$$x=\frac{2}{2}$$

Împărțiți 2 la 2.

$$x=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=64 x=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-65x+64=0$$

Scădeți 64 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-65x+64-64=-64$$

Scăderea 64 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-65x=-64$$

Împărțiți -65, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{65}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{65}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-65x+\left(-\frac{65}{2}\right)^{2}=-64+\left(-\frac{65}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{65}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-65x+\frac{4225}{4}=-64+\frac{4225}{4}$$

Adunați -64 cu \frac{4225}{4}.

$$x^{2}-65x+\frac{4225}{4}=\frac{3969}{4}$$

Factor x^{2}-65x+\frac{4225}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{2}\right)^{2}=\frac{3969}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3969}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{65}{2}=\frac{63}{2} x-\frac{65}{2}=-\frac{63}{2}$$

Adunați \frac{65}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=64 x=1$$