Rezolvați x^2-4x+8+x^2/2-14x+100=-x/2-2x+52

$${ x }^{ 2 } -4x+8+ \frac{ { x }^{ 2 } }{ 2 } -14x+100 = - \frac{ x }{ 2 } -2x+52$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{31+\sqrt{383}i}{6}\approx 5,166666667+3,261730965i$$

$$x=\frac{-\sqrt{383}i+31}{6}\approx 5,166666667-3,261730965i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$2x^{2}-8x+16+x^{2}-28x+200=-x-4x+104$$

Combinați 2x^{2} cu x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}-8x+16-28x+200=-x-4x+104$$

Combinați -8x cu -28x pentru a obține -36x.

$$3x^{2}-36x+16+200=-x-4x+104$$

Adunați 16 și 200 pentru a obține 216.

$$3x^{2}-36x+216=-x-4x+104$$

Adăugați x la ambele părți.

$$3x^{2}-36x+216+x=-4x+104$$

Combinați -36x cu x pentru a obține -35x.

$$3x^{2}-35x+216=-4x+104$$

Adăugați 4x la ambele părți.

$$3x^{2}-35x+216+4x=104$$

Combinați -35x cu 4x pentru a obține -31x.

$$3x^{2}-31x+216=104$$

Scădeți 104 din ambele părți.

$$3x^{2}-31x+216-104=0$$

Scădeți 104 din 216 pentru a obține 112.

$$3x^{2}-31x+112=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -31 și c cu 112 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\times 112}}{2\times 3}$$

Ridicați -31 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\times 112}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\times 112}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 112.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-1344}}{2\times 3}$$

Adunați 961 cu -1344.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{-383}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -383.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{383}i}{2\times 3}$$

Opusul lui -31 este 31.

$$x=\frac{31±\sqrt{383}i}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{31±\sqrt{383}i}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{31±\sqrt{383}i}{6} atunci când ± este plus. Adunați 31 cu i\sqrt{383}.

$$x=\frac{31+\sqrt{383}i}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{31±\sqrt{383}i}{6} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{383} din 31.

$$x=\frac{-\sqrt{383}i+31}{6}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{31+\sqrt{383}i}{6} x=\frac{-\sqrt{383}i+31}{6}$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$2x^{2}-8x+16+x^{2}-28x+200=-x-4x+104$$

Combinați 2x^{2} cu x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}-8x+16-28x+200=-x-4x+104$$

Combinați -8x cu -28x pentru a obține -36x.

$$3x^{2}-36x+16+200=-x-4x+104$$

Adunați 16 și 200 pentru a obține 216.

$$3x^{2}-36x+216=-x-4x+104$$

Adăugați x la ambele părți.

$$3x^{2}-36x+216+x=-4x+104$$

Combinați -36x cu x pentru a obține -35x.

$$3x^{2}-35x+216=-4x+104$$

Adăugați 4x la ambele părți.

$$3x^{2}-35x+216+4x=104$$

Combinați -35x cu 4x pentru a obține -31x.

$$3x^{2}-31x+216=104$$

Scădeți 216 din ambele părți.

$$3x^{2}-31x=104-216$$

Scădeți 216 din 104 pentru a obține -112.

$$3x^{2}-31x=-112$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=-\frac{112}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=-\frac{112}{3}$$

Împărțiți -\frac{31}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{31}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{31}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=-\frac{112}{3}+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{31}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=-\frac{112}{3}+\frac{961}{36}$$

Adunați -\frac{112}{3} cu \frac{961}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=-\frac{383}{36}$$

Factor x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=-\frac{383}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{383}{36}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{\sqrt{383}i}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{\sqrt{383}i}{6}$$

Adunați \frac{31}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{31+\sqrt{383}i}{6} x=\frac{-\sqrt{383}i+31}{6}$$