Rezolvați x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Rezolvați pentru x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu -3 și c cu 1.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

Pentru ca produsul să fie negativ, x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} și x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} trebuie să fie de semne opuse. Tratați cazul în care x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} este pozitiv și x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} este negativ.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Este fals pentru orice x.

$$x\in \emptyset$$

Tratați cazul în care x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} este pozitiv și x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} este negativ.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$