Rezolvați x^2-21x+104=0

$${ x }^{ 2 } -21x+104=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=8$$

$$x=13$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-21x+104 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-21 ab=104$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Soluția este perechea care dă suma de -21.

$$a=-13 b=-8$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-13=0 și x-8=0.

$$x=13 x=8$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+104. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-21 ab=1\times 104=104$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Soluția este perechea care dă suma de -21.

$$a=-13 b=-8$$

Rescrieți x^{2}-21x+104 ca \left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right).

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right)$$

Factor x în primul și -8 în al doilea grup.

$$x\left(x-13\right)-8\left(x-13\right)$$

Scoateți termenul comun x-13 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-13=0 și x-8=0.

$$x=13 x=8$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -21 și c cu 104 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 104}}{2}$$

Ridicați -21 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 104}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 104.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-416}}{2}$$

Adunați 441 cu -416.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±5}{2}$$

Opusul lui -21 este 21.

$$x=\frac{21±5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{21±5}{2} atunci când ± este plus. Adunați 21 cu 5.

$$x=\frac{26}{2}$$

Împărțiți 26 la 2.

$$x=13$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{21±5}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din 21.

$$x=\frac{16}{2}$$

Împărțiți 16 la 2.

$$x=8$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=13 x=8$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Scădeți 104 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-21x+104-104=-104$$

Scăderea 104 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-21x=-104$$

Împărțiți -21, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{21}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{21}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-104+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{21}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=-104+\frac{441}{4}$$

Adunați -104 cu \frac{441}{4}.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{25}{4}$$

Factor x^{2}-21x+\frac{441}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{21}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{5}{2}$$

Adunați \frac{21}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=13 x=8$$