Rezolvați x^2-13x-42=0

$${ x }^{ 2 } -13x-42=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{337} + 13}{2} \approx 15,678779875$$

$$x=\frac{13-\sqrt{337}}{2}\approx -2,678779875$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-13x-42=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -13 și c cu -42 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\left(-42\right)}}{2}$$

Ridicați -13 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\left(-42\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+168}}{2}$$

Adunați 169 cu 168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{337}}{2}$$

Opusul lui -13 este 13.

$$x=\frac{13±\sqrt{337}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{13±\sqrt{337}}{2} atunci când ± este plus. Adunați 13 cu \sqrt{337}.

$$x=\frac{\sqrt{337}+13}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{13±\sqrt{337}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{337} din 13.

$$x=\frac{13-\sqrt{337}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{337}+13}{2} x=\frac{13-\sqrt{337}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x-42=0$$

Adunați 42 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-13x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Scăderea -42 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-13x=-\left(-42\right)$$

Scădeți -42 din 0.

$$x^{2}-13x=42$$

Împărțiți -13, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{13}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{13}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{13}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=42+\frac{169}{4}$$

Adunați 42 cu \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{337}{4}$$

Factor x^{2}-13x+\frac{169}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{337}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{337}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{\sqrt{337}}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{\sqrt{337}}{2}$$

Adunați \frac{13}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{337}+13}{2} x=\frac{13-\sqrt{337}}{2}$$