Rezolvați x^2-10x-11=0

$${ x }^{ 2 } -10x-11=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x=11$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-10x-11 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-10 ab=-11$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-11 b=1$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-11\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-11=0 și x+1=0.

$$x=11 x=-1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-11. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-10 ab=1\left(-11\right)=-11$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-11 b=1$$

Rescrieți x^{2}-10x-11 ca \left(x^{2}-11x\right)+\left(x-11\right).

$$\left(x^{2}-11x\right)+\left(x-11\right)$$

Scoateți factorul comun x din x^{2}-11x.

$$x\left(x-11\right)+x-11$$

Scoateți termenul comun x-11 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-11\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-11=0 și x+1=0.

$$x=11 x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-10x-11=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -10 și c cu -11 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(-11\right)}}{2}$$

Ridicați -10 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\left(-11\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+44}}{2}$$

Adunați 100 cu 44.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{144}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 144.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±12}{2}$$

Opusul lui -10 este 10.

$$x=\frac{10±12}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±12}{2} atunci când ± este plus. Adunați 10 cu 12.

$$x=\frac{22}{2}$$

Împărțiți 22 la 2.

$$x=11$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±12}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 12 din 10.

$$x=-\frac{2}{2}$$

Împărțiți -2 la 2.

$$x=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=11 x=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x-11=0$$

Adunați 11 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-10x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Scăderea -11 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-10x=-\left(-11\right)$$

Scădeți -11 din 0.

$$x^{2}-10x=11$$

Împărțiți -10, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -5. Apoi, adunați pătratul lui -5 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=11+\left(-5\right)^{2}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x^{2}-10x+25=11+25$$

Adunați 11 cu 25.

$$x^{2}-10x+25=36$$

Factor x^{2}-10x+25. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=36$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Simplificați.

$$x-5=6 x-5=-6$$

Adunați 5 la ambele părți ale ecuației.

$$x=11 x=-1$$