Rezolvați x^2-10x+21=0

$${ x }^{ 2 } -10x+21=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=3$$

$$x=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-10x+21 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-10 ab=21$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Soluția este perechea care dă suma de -10.

$$a=-7 b=-3$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-7\right)\left(x-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-7=0 și x-3=0.

$$x=7 x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+21. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-10 ab=1\times 21=21$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Soluția este perechea care dă suma de -10.

$$a=-7 b=-3$$

Rescrieți x^{2}-10x+21 ca \left(x^{2}-7x\right)+\left(-3x+21\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-3x+21\right)$$

Factor x în primul și -3 în al doilea grup.

$$x\left(x-7\right)-3\left(x-7\right)$$

Scoateți termenul comun x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-7\right)\left(x-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-7=0 și x-3=0.

$$x=7 x=3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-10x+21=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -10 și c cu 21 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 21}}{2}$$

Ridicați -10 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 21}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 21.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-84}}{2}$$

Adunați 100 cu -84.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±4}{2}$$

Opusul lui -10 este 10.

$$x=\frac{10±4}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±4}{2} atunci când ± este plus. Adunați 10 cu 4.

$$x=\frac{14}{2}$$

Împărțiți 14 la 2.

$$x=7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±4}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din 10.

$$x=\frac{6}{2}$$

Împărțiți 6 la 2.

$$x=3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=7 x=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x+21=0$$

Scădeți 21 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-10x+21-21=-21$$

Scăderea 21 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-10x=-21$$

Împărțiți -10, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -5. Apoi, adunați pătratul lui -5 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-21+\left(-5\right)^{2}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x^{2}-10x+25=-21+25$$

Adunați -21 cu 25.

$$x^{2}-10x+25=4$$

Factor x^{2}-10x+25. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=4$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplificați.

$$x-5=2 x-5=-2$$

Adunați 5 la ambele părți ale ecuației.

$$x=7 x=3$$