Rezolvați x^2-(7+x/2)((7+x/2)+x)=11

$${ x }^{ 2 } -( \frac{ 7+x }{ 2 } )(( \frac{ 7+x }{ 2 } )+x)=11$$

Rezolvați pentru x

$$x=-3$$

$$x=31$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$2x^{2}-\left(7+x\right)\left(\frac{7+x}{2}+x\right)=22$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 7+x cu \frac{7+x}{2}+x.

$$2x^{2}-\left(7\times \frac{7+x}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

Exprimați 7\times \frac{7+x}{2} ca fracție unică.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

Exprimați x\times \frac{7+x}{2} ca fracție unică.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+\frac{x\left(7+x\right)}{2}+x^{2}\right)=22$$

Deoarece \frac{7\left(7+x\right)}{2} și \frac{x\left(7+x\right)}{2} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right)}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Faceți înmulțiri în 7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right).

$$2x^{2}-\left(\frac{49+7x+7x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Combinați termeni similari în 49+7x+7x+x^{2}.

$$2x^{2}-\left(\frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Pentru a găsi opusul lui \frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x-x^{2}=22$$

Combinați 2x^{2} cu -x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x=22$$

Împărțiți fiecare termen din 49+14x+x^{2} la 2 pentru a obține \frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}-\left(\frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}\right)-7x=22$$

Pentru a găsi opusul lui \frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x^{2}-\frac{49}{2}-7x-\frac{1}{2}x^{2}-7x=22$$

Combinați x^{2} cu -\frac{1}{2}x^{2} pentru a obține \frac{1}{2}x^{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-7x-7x=22$$

Combinați -7x cu -7x pentru a obține -14x.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-14x=22$$

Scădeți 22 din ambele părți.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-14x-22=0$$

Scădeți 22 din -\frac{49}{2} pentru a obține -\frac{93}{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{93}{2}-14x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$\frac{1}{2}x^{2}-14x-\frac{93}{2}=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu \frac{1}{2}, b cu -14 și c cu -\frac{93}{2} în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times \frac{1}{2}\left(-\frac{93}{2}\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Ridicați -14 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times \frac{1}{2}\left(-\frac{93}{2}\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Înmulțiți -4 cu \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-2\left(-\frac{93}{2}\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Înmulțiți -2 cu -\frac{93}{2}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+93}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Adunați 196 cu 93.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{289}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 289.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±17}{2\times \frac{1}{2}}$$

Opusul lui -14 este 14.

$$x=\frac{14±17}{2\times \frac{1}{2}}$$

Înmulțiți 2 cu \frac{1}{2}.

$$x=\frac{14±17}{1}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±17}{1} atunci când ± este plus. Adunați 14 cu 17.

$$x=\frac{31}{1}$$

Împărțiți 31 la 1.

$$x=31$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±17}{1} atunci când ± este minus. Scădeți 17 din 14.

$$x=-\frac{3}{1}$$

Împărțiți -3 la 1.

$$x=-3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=31 x=-3$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$2x^{2}-\left(7+x\right)\left(\frac{7+x}{2}+x\right)=22$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 7+x cu \frac{7+x}{2}+x.

$$2x^{2}-\left(7\times \frac{7+x}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

Exprimați 7\times \frac{7+x}{2} ca fracție unică.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

Exprimați x\times \frac{7+x}{2} ca fracție unică.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+\frac{x\left(7+x\right)}{2}+x^{2}\right)=22$$

Deoarece \frac{7\left(7+x\right)}{2} și \frac{x\left(7+x\right)}{2} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right)}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Faceți înmulțiri în 7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right).

$$2x^{2}-\left(\frac{49+7x+7x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Combinați termeni similari în 49+7x+7x+x^{2}.

$$2x^{2}-\left(\frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Pentru a găsi opusul lui \frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x-x^{2}=22$$

Combinați 2x^{2} cu -x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x=22$$

Împărțiți fiecare termen din 49+14x+x^{2} la 2 pentru a obține \frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}-\left(\frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}\right)-7x=22$$

Pentru a găsi opusul lui \frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x^{2}-\frac{49}{2}-7x-\frac{1}{2}x^{2}-7x=22$$

Combinați x^{2} cu -\frac{1}{2}x^{2} pentru a obține \frac{1}{2}x^{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-7x-7x=22$$

Combinați -7x cu -7x pentru a obține -14x.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-14x=22$$

Adăugați \frac{49}{2} la ambele părți.

$$\frac{1}{2}x^{2}-14x=22+\frac{49}{2}$$

Adunați 22 și \frac{49}{2} pentru a obține \frac{93}{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}-14x=\frac{93}{2}$$

Se înmulțesc ambele părți cu 2.

$$\frac{\frac{1}{2}x^{2}-14x}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{93}{2}}{\frac{1}{2}}$$

Împărțirea la \frac{1}{2} anulează înmulțirea cu \frac{1}{2}.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{\frac{1}{2}}\right)x=\frac{\frac{93}{2}}{\frac{1}{2}}$$

Împărțiți -14 la \frac{1}{2} înmulțind pe -14 cu reciproca lui \frac{1}{2}.

$$x^{2}-28x=\frac{\frac{93}{2}}{\frac{1}{2}}$$

Împărțiți \frac{93}{2} la \frac{1}{2} înmulțind pe \frac{93}{2} cu reciproca lui \frac{1}{2}.

$$x^{2}-28x=93$$

Împărțiți -28, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -14. Apoi, adunați pătratul lui -14 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-28x+\left(-14\right)^{2}=93+\left(-14\right)^{2}$$

Ridicați -14 la pătrat.

$$x^{2}-28x+196=93+196$$

Adunați 93 cu 196.

$$x^{2}-28x+196=289$$

Factorul x^{2}-28x+196. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-14\right)^{2}=289$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-14\right)^{2}}=\sqrt{289}$$

Simplificați.

$$x-14=17 x-14=-17$$

Adunați 14 la ambele părți ale ecuației.

$$x=31 x=-3$$