Rezolvați x^2+x+1=0

$${ x }^{ 2 } +x+1 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 1 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4}}{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2}$$

Adunați 1 cu -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{3} din -1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+x+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+x=-1$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Adunați -1 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Factorul x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$