Rezolvați x^2+4x-1=0

$${ x }^{ 2 } +4x-1=0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\sqrt{5}-2\approx 0,236067977$$

$$x=-\left(\sqrt{5}+2\right)\approx -4,236067977$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+4x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 4 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4}}{2}$$

Adunați 16 cu 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{20}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 20.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2} atunci când ± este plus. Adunați -4 cu 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-4}{2}$$

Împărțiți -4+2\sqrt{5} la 2.

$$x=\sqrt{5}-2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{5} din -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-4}{2}$$

Împărțiți -4-2\sqrt{5} la 2.

$$x=-\sqrt{5}-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\sqrt{5}-2 x=-\sqrt{5}-2$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+4x-1=0$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Scăderea -1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+4x=-\left(-1\right)$$

Scădeți -1 din 0.

$$x^{2}+4x=1$$

Împărțiți 4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 2. Apoi, adunați pătratul lui 2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+4x+2^{2}=1+2^{2}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x^{2}+4x+4=1+4$$

Adunați 1 cu 4.

$$x^{2}+4x+4=5$$

Factor x^{2}+4x+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=5$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Simplificați.

$$x+2=\sqrt{5} x+2=-\sqrt{5}$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$x=\sqrt{5}-2 x=-\sqrt{5}-2$$

Rezolvați pentru x

$$x=\sqrt{5}-2\approx 0,236067977$$

$$x=-\sqrt{5}-2\approx -4,236067977$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+4x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 4 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4}}{2}$$

Adunați 16 cu 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{20}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 20.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2} atunci când ± este plus. Adunați -4 cu 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-4}{2}$$

Împărțiți -4+2\sqrt{5} la 2.

$$x=\sqrt{5}-2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{5} din -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-4}{2}$$

Împărțiți -4-2\sqrt{5} la 2.

$$x=-\sqrt{5}-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\sqrt{5}-2 x=-\sqrt{5}-2$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+4x-1=0$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Scăderea -1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+4x=-\left(-1\right)$$

Scădeți -1 din 0.

$$x^{2}+4x=1$$

Împărțiți 4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 2. Apoi, adunați pătratul lui 2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+4x+2^{2}=1+2^{2}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x^{2}+4x+4=1+4$$

Adunați 1 cu 4.

$$x^{2}+4x+4=5$$

Factor x^{2}+4x+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=5$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Simplificați.

$$x+2=\sqrt{5} x+2=-\sqrt{5}$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$x=\sqrt{5}-2 x=-\sqrt{5}-2$$