Rezolvați x^2+3x-54=0

$${ x }^{ 2 } +3x-54=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-9$$

$$x=6$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+3x-54 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=3 ab=-54$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -54.

$$-1,54 -2,27 -3,18 -6,9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+54=53 -2+27=25 -3+18=15 -6+9=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 3.

$$a=-6 b=9$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-6\right)\left(x+9\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-6=0 și x+9=0.

$$x=6 x=-9$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-54. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=3 ab=1\left(-54\right)=-54$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -54.

$$-1,54 -2,27 -3,18 -6,9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+54=53 -2+27=25 -3+18=15 -6+9=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 3.

$$a=-6 b=9$$

Rescrieți x^{2}+3x-54 ca \left(x^{2}-6x\right)+\left(9x-54\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(9x-54\right)$$

Factor x în primul și 9 în al doilea grup.

$$x\left(x-6\right)+9\left(x-6\right)$$

Scoateți termenul comun x-6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-6\right)\left(x+9\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-6=0 și x+9=0.

$$x=6 x=-9$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+3x-54=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 3 și c cu -54 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-54\right)}}{2}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-54\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -54.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+216}}{2}$$

Adunați 9 cu 216.

$$x=\frac{-3±\sqrt{225}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 225.

$$x=\frac{-3±15}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±15}{2} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu 15.

$$x=\frac{12}{2}$$

Împărțiți 12 la 2.

$$x=6$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±15}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 15 din -3.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Împărțiți -18 la 2.

$$x=-9$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=6 x=-9$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x-54=0$$

Adunați 54 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+3x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

Scăderea -54 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+3x=-\left(-54\right)$$

Scădeți -54 din 0.

$$x^{2}+3x=54$$

Împărțiți 3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=54+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=54+\frac{9}{4}$$

Adunați 54 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{225}{4}$$

Factor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{15}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{15}{2}$$

Scădeți \frac{3}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=6 x=-9$$