Rezolvați x^2+34x+240=0

$${ x }^{ 2 } +34x+240=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-24$$

$$x=-10$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+34x+240 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=34 ab=240$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 240.

$$1,240 2,120 3,80 4,60 5,48 6,40 8,30 10,24 12,20 15,16$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+240=241 2+120=122 3+80=83 4+60=64 5+48=53 6+40=46 8+30=38 10+24=34 12+20=32 15+16=31$$

Soluția este perechea care dă suma de 34.

$$a=10 b=24$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x+10\right)\left(x+24\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+10=0 și x+24=0.

$$x=-10 x=-24$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+240. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=34 ab=1\times 240=240$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 240.

$$1,240 2,120 3,80 4,60 5,48 6,40 8,30 10,24 12,20 15,16$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+240=241 2+120=122 3+80=83 4+60=64 5+48=53 6+40=46 8+30=38 10+24=34 12+20=32 15+16=31$$

Soluția este perechea care dă suma de 34.

$$a=10 b=24$$

Rescrieți x^{2}+34x+240 ca \left(x^{2}+10x\right)+\left(24x+240\right).

$$\left(x^{2}+10x\right)+\left(24x+240\right)$$

Factor x în primul și 24 în al doilea grup.

$$x\left(x+10\right)+24\left(x+10\right)$$

Scoateți termenul comun x+10 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x+10\right)\left(x+24\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+10=0 și x+24=0.

$$x=-10 x=-24$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+34x+240=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 34 și c cu 240 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-34±\sqrt{34^{2}-4\times 240}}{2}$$

Ridicați 34 la pătrat.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156-4\times 240}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 240.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156-960}}{2}$$

Adunați 1156 cu -960.

$$x=\frac{-34±\sqrt{196}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 196.

$$x=\frac{-34±14}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-34±14}{2} atunci când ± este plus. Adunați -34 cu 14.

$$x=-\frac{20}{2}$$

Împărțiți -20 la 2.

$$x=-10$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-34±14}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 14 din -34.

$$x=-\frac{48}{2}$$

Împărțiți -48 la 2.

$$x=-24$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-10 x=-24$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+34x+240=0$$

Scădeți 240 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+34x+240-240=-240$$

Scăderea 240 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+34x=-240$$

Împărțiți 34, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 17. Apoi, adunați pătratul lui 17 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+34x+17^{2}=-240+17^{2}$$

Ridicați 17 la pătrat.

$$x^{2}+34x+289=-240+289$$

Adunați -240 cu 289.

$$x^{2}+34x+289=49$$

Factor x^{2}+34x+289. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+17\right)^{2}=49$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+17\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Simplificați.

$$x+17=7 x+17=-7$$

Scădeți 17 din ambele părți ale ecuației.

$$x=-10 x=-24$$