Rezolvați x^2+25x+100=0

$${ x }^{ 2 } +25x+100=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-20$$

$$x=-5$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori x^{2}+25x+100 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=25 ab=100$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt pozitive. Enumerați toate perechile întregi care oferă 100 de produs.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

Soluția este perechea care dă suma de 25.

$$a=5 b=20$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x+5\right)\left(x+20\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x+5=0 și x+20=0.

$$x=-5 x=-20$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+100. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=25 ab=1\times 100=100$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt pozitive. Enumerați toate perechile întregi care oferă 100 de produs.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

Soluția este perechea care dă suma de 25.

$$a=5 b=20$$

Rescrieți x^{2}+25x+100 ca \left(x^{2}+5x\right)+\left(20x+100\right).

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(20x+100\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 20 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(x+5\right)+20\left(x+5\right)$$

Scoateți termenul comun x+5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x+5\right)\left(x+20\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x+5=0 și x+20=0.

$$x=-5 x=-20$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+25x+100=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 25 și c cu 100 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 100}}{2}$$

Ridicați 25 la pătrat.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 100}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 100.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-400}}{2}$$

Adunați 625 cu -400.

$$x=\frac{-25±\sqrt{225}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 225.

$$x=\frac{-25±15}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-25±15}{2} atunci când ± este plus. Adunați -25 cu 15.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Împărțiți -10 la 2.

$$x=-5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-25±15}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 15 din -25.

$$x=-\frac{40}{2}$$

Împărțiți -40 la 2.

$$x=-20$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-5 x=-20$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+25x+100=0$$

Scădeți 100 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+25x+100-100=-100$$

Scăderea 100 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+25x=-100$$

Împărțiți 25, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{25}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{25}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+25x+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=-100+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{25}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=-100+\frac{625}{4}$$

Adunați -100 cu \frac{625}{4}.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=\frac{225}{4}$$

Factorul x^{2}+25x+\frac{625}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{25}{2}=\frac{15}{2} x+\frac{25}{2}=-\frac{15}{2}$$

Scădeți \frac{25}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-5 x=-20$$