Rezolvați x^2+14x-2352=0

$${ x }^{ 2 } +14x-2352=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-56$$

$$x=42$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+14x-2352 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=14 ab=-2352$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -2352.

$$-1,2352 -2,1176 -3,784 -4,588 -6,392 -7,336 -8,294 -12,196 -14,168 -16,147 -21,112 -24,98 -28,84 -42,56 -48,49$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+2352=2351 -2+1176=1174 -3+784=781 -4+588=584 -6+392=386 -7+336=329 -8+294=286 -12+196=184 -14+168=154 -16+147=131 -21+112=91 -24+98=74 -28+84=56 -42+56=14 -48+49=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 14.

$$a=-42 b=56$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-42\right)\left(x+56\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-42=0 și x+56=0.

$$x=42 x=-56$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-2352. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=14 ab=1\left(-2352\right)=-2352$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -2352.

$$-1,2352 -2,1176 -3,784 -4,588 -6,392 -7,336 -8,294 -12,196 -14,168 -16,147 -21,112 -24,98 -28,84 -42,56 -48,49$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+2352=2351 -2+1176=1174 -3+784=781 -4+588=584 -6+392=386 -7+336=329 -8+294=286 -12+196=184 -14+168=154 -16+147=131 -21+112=91 -24+98=74 -28+84=56 -42+56=14 -48+49=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 14.

$$a=-42 b=56$$

Rescrieți x^{2}+14x-2352 ca \left(x^{2}-42x\right)+\left(56x-2352\right).

$$\left(x^{2}-42x\right)+\left(56x-2352\right)$$

Factor x în primul și 56 în al doilea grup.

$$x\left(x-42\right)+56\left(x-42\right)$$

Scoateți termenul comun x-42 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-42\right)\left(x+56\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-42=0 și x+56=0.

$$x=42 x=-56$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+14x-2352=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 14 și c cu -2352 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-2352\right)}}{2}$$

Ridicați 14 la pătrat.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-2352\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -2352.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+9408}}{2}$$

Adunați 196 cu 9408.

$$x=\frac{-14±\sqrt{9604}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9604.

$$x=\frac{-14±98}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-14±98}{2} atunci când ± este plus. Adunați -14 cu 98.

$$x=\frac{84}{2}$$

Împărțiți 84 la 2.

$$x=42$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-14±98}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 98 din -14.

$$x=-\frac{112}{2}$$

Împărțiți -112 la 2.

$$x=-56$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=42 x=-56$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+14x-2352=0$$

Adunați 2352 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+14x-2352-\left(-2352\right)=-\left(-2352\right)$$

Scăderea -2352 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+14x=-\left(-2352\right)$$

Scădeți -2352 din 0.

$$x^{2}+14x=2352$$

Împărțiți 14, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 7. Apoi, adunați pătratul lui 7 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+14x+7^{2}=2352+7^{2}$$

Ridicați 7 la pătrat.

$$x^{2}+14x+49=2352+49$$

Adunați 2352 cu 49.

$$x^{2}+14x+49=2401$$

Factor x^{2}+14x+49. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=2401$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{2401}$$

Simplificați.

$$x+7=49 x+7=-49$$

Scădeți 7 din ambele părți ale ecuației.

$$x=42 x=-56$$