Rezolvați x^2+12x=640

$${ x }^{ 2 } +12x=640$$

Rezolvați pentru x

$$x=-32$$

$$x=20$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Scădeți 640 din ambele părți.

$$x^{2}+12x-640=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori x^{2}+12x-640 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=12 ab=-640$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -640 de produs.

$$-1,640 -2,320 -4,160 -5,128 -8,80 -10,64 -16,40 -20,32$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+640=639 -2+320=318 -4+160=156 -5+128=123 -8+80=72 -10+64=54 -16+40=24 -20+32=12$$

Soluția este perechea care dă suma de 12.

$$a=-20 b=32$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-20\right)\left(x+32\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-20=0 și x+32=0.

$$x=20 x=-32$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 640 din ambele părți.

$$x^{2}+12x-640=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-640. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=12 ab=1\left(-640\right)=-640$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -640 de produs.

$$-1,640 -2,320 -4,160 -5,128 -8,80 -10,64 -16,40 -20,32$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+640=639 -2+320=318 -4+160=156 -5+128=123 -8+80=72 -10+64=54 -16+40=24 -20+32=12$$

Soluția este perechea care dă suma de 12.

$$a=-20 b=32$$

Rescrieți x^{2}+12x-640 ca \left(x^{2}-20x\right)+\left(32x-640\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(32x-640\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 32 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(x-20\right)+32\left(x-20\right)$$

Scoateți termenul comun x-20 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-20\right)\left(x+32\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-20=0 și x+32=0.

$$x=20 x=-32$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+12x=640$$

Scădeți 640 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+12x-640=640-640$$

Scăderea 640 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+12x-640=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 12 și c cu -640 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-640\right)}}{2}$$

Ridicați 12 la pătrat.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-640\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -640.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+2560}}{2}$$

Adunați 144 cu 2560.

$$x=\frac{-12±\sqrt{2704}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2704.

$$x=\frac{-12±52}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-12±52}{2} atunci când ± este plus. Adunați -12 cu 52.

$$x=\frac{40}{2}$$

Împărțiți 40 la 2.

$$x=20$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-12±52}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 52 din -12.

$$x=-\frac{64}{2}$$

Împărțiți -64 la 2.

$$x=-32$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=20 x=-32$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+12x=640$$

Împărțiți 12, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 6. Apoi, adunați pătratul lui 6 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+12x+6^{2}=640+6^{2}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$x^{2}+12x+36=640+36$$

Adunați 640 cu 36.

$$x^{2}+12x+36=676$$

Factorul x^{2}+12x+36. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=676$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{676}$$

Simplificați.

$$x+6=26 x+6=-26$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$x=20 x=-32$$