Rezolvați x^2+11x-390=0

$${ x }^{ 2 } +11x-390=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-26$$

$$x=15$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+11x-390 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=11 ab=-390$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -390.

$$-1,390 -2,195 -3,130 -5,78 -6,65 -10,39 -13,30 -15,26$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+390=389 -2+195=193 -3+130=127 -5+78=73 -6+65=59 -10+39=29 -13+30=17 -15+26=11$$

Soluția este perechea care dă suma de 11.

$$a=-15 b=26$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-15\right)\left(x+26\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-15=0 și x+26=0.

$$x=15 x=-26$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-390. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=11 ab=1\left(-390\right)=-390$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -390.

$$-1,390 -2,195 -3,130 -5,78 -6,65 -10,39 -13,30 -15,26$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+390=389 -2+195=193 -3+130=127 -5+78=73 -6+65=59 -10+39=29 -13+30=17 -15+26=11$$

Soluția este perechea care dă suma de 11.

$$a=-15 b=26$$

Rescrieți x^{2}+11x-390 ca \left(x^{2}-15x\right)+\left(26x-390\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(26x-390\right)$$

Factor x în primul și 26 în al doilea grup.

$$x\left(x-15\right)+26\left(x-15\right)$$

Scoateți termenul comun x-15 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-15\right)\left(x+26\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-15=0 și x+26=0.

$$x=15 x=-26$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+11x-390=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 11 și c cu -390 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-390\right)}}{2}$$

Ridicați 11 la pătrat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-390\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -390.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+1560}}{2}$$

Adunați 121 cu 1560.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1681}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1681.

$$x=\frac{-11±41}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±41}{2} atunci când ± este plus. Adunați -11 cu 41.

$$x=\frac{30}{2}$$

Împărțiți 30 la 2.

$$x=15$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±41}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 41 din -11.

$$x=-\frac{52}{2}$$

Împărțiți -52 la 2.

$$x=-26$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=15 x=-26$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+11x-390=0$$

Adunați 390 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+11x-390-\left(-390\right)=-\left(-390\right)$$

Scăderea -390 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+11x=-\left(-390\right)$$

Scădeți -390 din 0.

$$x^{2}+11x=390$$

Împărțiți 11, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{11}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{11}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+11x+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=390+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{11}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=390+\frac{121}{4}$$

Adunați 390 cu \frac{121}{4}.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=\frac{1681}{4}$$

Factor x^{2}+11x+\frac{121}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{1681}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{11}{2}=\frac{41}{2} x+\frac{11}{2}=-\frac{41}{2}$$

Scădeți \frac{11}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=15 x=-26$$