Rezolvați x^2+10x+21=0

$${ x }^{ 2 } +10x+21 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-7$$

$$x=-3$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori x^{2}+10x+21 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=10 ab=21$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt pozitive. Enumerați toate perechile întregi care oferă 21 de produs.

$$1,21 3,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+21=22 3+7=10$$

Soluția este perechea care dă suma de 10.

$$a=3 b=7$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x+3\right)\left(x+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x+3=0 și x+7=0.

$$x=-3 x=-7$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+21. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=10 ab=1\times 21=21$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt pozitive. Enumerați toate perechile întregi care oferă 21 de produs.

$$1,21 3,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+21=22 3+7=10$$

Soluția este perechea care dă suma de 10.

$$a=3 b=7$$

Rescrieți x^{2}+10x+21 ca \left(x^{2}+3x\right)+\left(7x+21\right).

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(7x+21\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 7 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(x+3\right)+7\left(x+3\right)$$

Scoateți termenul comun x+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x+3\right)\left(x+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x+3=0 și x+7=0.

$$x=-3 x=-7$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+10x+21=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 10 și c cu 21 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 21}}{2}$$

Ridicați 10 la pătrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 21}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 21.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-84}}{2}$$

Adunați 100 cu -84.

$$x=\frac{-10±\sqrt{16}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$x=\frac{-10±4}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-10±4}{2} atunci când ± este plus. Adunați -10 cu 4.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Împărțiți -6 la 2.

$$x=-3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-10±4}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din -10.

$$x=-\frac{14}{2}$$

Împărțiți -14 la 2.

$$x=-7$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-3 x=-7$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+10x+21=0$$

Scădeți 21 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+10x+21-21=-21$$

Scăderea 21 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+10x=-21$$

Împărțiți 10, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 5. Apoi, adunați pătratul lui 5 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+10x+5^{2}=-21+5^{2}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x^{2}+10x+25=-21+25$$

Adunați -21 cu 25.

$$x^{2}+10x+25=4$$

Factorul x^{2}+10x+25. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=4$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplificați.

$$x+5=2 x+5=-2$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$x=-3 x=-7$$