Rezolvați x^2+left(-3x+10right)^2=20

$${ x }^{ 2 } + { \left(-3x+10 \right) }^{ 2 } =20$$

Rezolvați pentru x

$$x=2$$

$$x=4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-3x+10\right)^{2}.

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Combinați x^{2} cu 9x^{2} pentru a obține 10x^{2}.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Scădeți 20 din ambele părți.

$$10x^{2}-60x+100-20=0$$

Scădeți 20 din 100 pentru a obține 80.

$$10x^{2}-60x+80=0$$

Se împart ambele părți la 10.

$$x^{2}-6x+8=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+8. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-6 ab=1\times 8=8$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 8 de produs.

$$-1,-8 -2,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Soluția este perechea care dă suma de -6.

$$a=-4 b=-2$$

Rescrieți x^{2}-6x+8 ca \left(x^{2}-4x\right)+\left(-2x+8\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(-2x+8\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și -2 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(x-4\right)-2\left(x-4\right)$$

Scoateți termenul comun x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-4\right)\left(x-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-4=0 și x-2=0.

$$x=4 x=2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-3x+10\right)^{2}.

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Combinați x^{2} cu 9x^{2} pentru a obține 10x^{2}.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Scădeți 20 din ambele părți.

$$10x^{2}-60x+100-20=0$$

Scădeți 20 din 100 pentru a obține 80.

$$10x^{2}-60x+80=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 10, b cu -60 și c cu 80 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 10\times 80}}{2\times 10}$$

Ridicați -60 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 10\times 80}}{2\times 10}$$

Înmulțiți -4 cu 10.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-40\times 80}}{2\times 10}$$

Înmulțiți -40 cu 80.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-3200}}{2\times 10}$$

Adunați 3600 cu -3200.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{400}}{2\times 10}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 400.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±20}{2\times 10}$$

Opusul lui -60 este 60.

$$x=\frac{60±20}{2\times 10}$$

Înmulțiți 2 cu 10.

$$x=\frac{60±20}{20}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{60±20}{20} atunci când ± este plus. Adunați 60 cu 20.

$$x=\frac{80}{20}$$

Împărțiți 80 la 20.

$$x=4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{60±20}{20} atunci când ± este minus. Scădeți 20 din 60.

$$x=\frac{40}{20}$$

Împărțiți 40 la 20.

$$x=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=4 x=2$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-3x+10\right)^{2}.

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Combinați x^{2} cu 9x^{2} pentru a obține 10x^{2}.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Scădeți 100 din ambele părți.

$$10x^{2}-60x=20-100$$

Scădeți 100 din 20 pentru a obține -80.

$$10x^{2}-60x=-80$$

Se împart ambele părți la 10.

$$\frac{10x^{2}-60x}{10}=-\frac{80}{10}$$

Împărțirea la 10 anulează înmulțirea cu 10.

$$x^{2}+\left(-\frac{60}{10}\right)x=-\frac{80}{10}$$

Împărțiți -60 la 10.

$$x^{2}-6x=-\frac{80}{10}$$

Împărțiți -80 la 10.

$$x^{2}-6x=-8$$

Împărțiți -6, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -3. Apoi, adunați pătratul lui -3 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-8+\left(-3\right)^{2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x^{2}-6x+9=-8+9$$

Adunați -8 cu 9.

$$x^{2}-6x+9=1$$

Factorul x^{2}-6x+9. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=1$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplificați.

$$x-3=1 x-3=-1$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$x=4 x=2$$