Rezolvați n^3+n^2+n=1110

$${ n }^{ 3 } + { n }^{ 2 } +n = 1110$$

Rezolvați pentru n

$$n=10$$

Pașii soluției

Scădeți 1110 din ambele părți.

$$n^{3}+n^{2}+n-1110=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -1110 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±1110,±555,±370,±222,±185,±111,±74,±37,±30,±15,±10,±6,±5,±3,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$n=10$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, n-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți n^{3}+n^{2}+n-1110 la n-10 pentru a obține n^{2}+11n+111. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$n^{2}+11n+111=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 11 și c cu 111.

$$n=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 1\times 111}}{2}$$

Faceți calculele.

$$n=\frac{-11±\sqrt{-323}}{2}$$

Pentru că rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită în câmpul real, nu există soluții.

$$n\in \emptyset$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$n=10$$