Rezolvați 4^2-4x(5-x)=0

$${ 4 }^{ 2 } -4x(5-x)=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Calculați 4 la puterea 2 și obțineți 16.

$$16-4x\left(5-x\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4x cu 5-x.

$$16-20x+4x^{2}=0$$

Se împart ambele părți la 4.

$$4-5x+x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}-5x+4=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-5 ab=1\times 4=4$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 4 de produs.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=-4 b=-1$$

Rescrieți x^{2}-5x+4 ca \left(x^{2}-4x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și -1 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Scoateți termenul comun x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-4=0 și x-1=0.

$$x=4 x=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Calculați 4 la puterea 2 și obțineți 16.

$$16-4x\left(5-x\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4x cu 5-x.

$$16-20x+4x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}-20x+16=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -20 și c cu 16 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Ridicați -20 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-16\times 16}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 16.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-256}}{2\times 4}$$

Adunați 400 cu -256.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 144.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±12}{2\times 4}$$

Opusul lui -20 este 20.

$$x=\frac{20±12}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{20±12}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{20±12}{8} atunci când ± este plus. Adunați 20 cu 12.

$$x=\frac{32}{8}$$

Împărțiți 32 la 8.

$$x=4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{20±12}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 12 din 20.

$$x=\frac{8}{8}$$

Împărțiți 8 la 8.

$$x=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=4 x=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Calculați 4 la puterea 2 și obțineți 16.

$$16-4x\left(5-x\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4x cu 5-x.

$$16-20x+4x^{2}=0$$

Scădeți 16 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-20x+4x^{2}=-16$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-20x=-16$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-20x}{4}=-\frac{16}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{4}\right)x=-\frac{16}{4}$$

Împărțiți -20 la 4.

$$x^{2}-5x=-\frac{16}{4}$$

Împărțiți -16 la 4.

$$x^{2}-5x=-4$$

Împărțiți -5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

Adunați -4 cu \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

Factorul x^{2}-5x+\frac{25}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

Adunați \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=4 x=1$$