Rezolvați left(x+14right)^2-left(x+11right)^2=left(x-6right)^2

$${ \left(x+14 \right) }^{ 2 } - { \left(x+11 \right) }^{ 2 } = { \left(x-6 \right) }^{ 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=2\sqrt{30}+9\approx 19,95445115$$

$$x=9-2\sqrt{30}\approx -1,95445115$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}+22x+121, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Combinați x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Combinați 28x cu -22x pentru a obține 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Scădeți 121 din 196 pentru a obține 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Adăugați 12x la ambele părți.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Combinați 6x cu 12x pentru a obține 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Scădeți 36 din ambele părți.

$$18x+75-x^{2}-36=0$$

Scădeți 36 din 75 pentru a obține 39.

$$18x+39-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+18x+39=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 18 și c cu 39 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 18 la pătrat.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+4\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 39.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+156}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 324 cu 156.

$$x=\frac{-18±\sqrt{480}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 480.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -18 cu 4\sqrt{30}.

$$x=\frac{4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Împărțiți -18+4\sqrt{30} la -2.

$$x=9-2\sqrt{30}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{30} din -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Împărțiți -18-4\sqrt{30} la -2.

$$x=2\sqrt{30}+9$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=9-2\sqrt{30} x=2\sqrt{30}+9$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}+22x+121, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Combinați x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Combinați 28x cu -22x pentru a obține 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Scădeți 121 din 196 pentru a obține 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Adăugați 12x la ambele părți.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Combinați 6x cu 12x pentru a obține 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Scădeți 75 din ambele părți.

$$18x-x^{2}=36-75$$

Scădeți 75 din 36 pentru a obține -39.

$$18x-x^{2}=-39$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+18x=-39$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+18x}{-1}=-\frac{39}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{18}{-1}x=-\frac{39}{-1}$$

Împărțiți 18 la -1.

$$x^{2}-18x=-\frac{39}{-1}$$

Împărțiți -39 la -1.

$$x^{2}-18x=39$$

Împărțiți -18, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -9. Apoi, adunați pătratul lui -9 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=39+\left(-9\right)^{2}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$x^{2}-18x+81=39+81$$

Adunați 39 cu 81.

$$x^{2}-18x+81=120$$

Factor x^{2}-18x+81. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=120$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{120}$$

Simplificați.

$$x-9=2\sqrt{30} x-9=-2\sqrt{30}$$

Adunați 9 la ambele părți ale ecuației.

$$x=2\sqrt{30}+9 x=9-2\sqrt{30}$$