Rezolvați left(6x-2right)^2-4*x*5x<0

$${ \left(6x-2 \right) }^{ 2 } -4 \times x \times 5x < 0$$

Rezolvați pentru x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{4},\frac{\sqrt{5}+3}{4}\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți x cu x pentru a obține x^{2}.

$$\left(6x-2\right)^{2}-4x^{2}\times 5<0$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(6x-2\right)^{2}.

$$36x^{2}-24x+4-4x^{2}\times 5<0$$

Înmulțiți 4 cu 5 pentru a obține 20.

$$36x^{2}-24x+4-20x^{2}<0$$

Combinați 36x^{2} cu -20x^{2} pentru a obține 16x^{2}.

$$16x^{2}-24x+4<0$$

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$16x^{2}-24x+4=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 16, b cu -24 și c cu 4.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 16\times 4}}{2\times 16}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{24±8\sqrt{5}}{32}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{24±8\sqrt{5}}{32} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{5}}{4}$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$16\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{4}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{4}\right)<0$$

Pentru ca produsul să fie negativ, x-\frac{\sqrt{5}+3}{4} și x-\frac{3-\sqrt{5}}{4} trebuie să fie de semne opuse. Tratați cazul în care x-\frac{\sqrt{5}+3}{4} este pozitiv și x-\frac{3-\sqrt{5}}{4} este negativ.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{4}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{4}<0$$

Este fals pentru orice x.

$$x\in \emptyset$$

Tratați cazul în care x-\frac{3-\sqrt{5}}{4} este pozitiv și x-\frac{\sqrt{5}+3}{4} este negativ.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{4}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{4}<0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{4},\frac{\sqrt{5}+3}{4}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{4},\frac{\sqrt{5}+3}{4}\right)$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{4},\frac{\sqrt{5}+3}{4}\right)$$