Rezolvați left(5x-2right)^2=9

$${ \left(5x-2 \right) }^{ 2 } =9$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4=9$$

Scădeți 9 din ambele părți.

$$25x^{2}-20x+4-9=0$$

Scădeți 9 din 4 pentru a obține -5.

$$25x^{2}-20x-5=0$$

Se împart ambele părți la 5.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx-1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-4 ab=5\left(-1\right)=-5$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-5 b=1$$

Rescrieți 5x^{2}-4x-1 ca \left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right)$$

Scoateți factorul comun 5x din 5x^{2}-5x.

$$5x\left(x-1\right)+x-1$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și 5x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4=9$$

Scădeți 9 din ambele părți.

$$25x^{2}-20x+4-9=0$$

Scădeți 9 din 4 pentru a obține -5.

$$25x^{2}-20x-5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 25, b cu -20 și c cu -5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 25\left(-5\right)}}{2\times 25}$$

Ridicați -20 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 25\left(-5\right)}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -4 cu 25.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-100\left(-5\right)}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -100 cu -5.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+500}}{2\times 25}$$

Adunați 400 cu 500.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{900}}{2\times 25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 900.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±30}{2\times 25}$$

Opusul lui -20 este 20.

$$x=\frac{20±30}{2\times 25}$$

Înmulțiți 2 cu 25.

$$x=\frac{20±30}{50}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{20±30}{50} atunci când ± este plus. Adunați 20 cu 30.

$$x=\frac{50}{50}$$

Împărțiți 50 la 50.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{20±30}{50} atunci când ± este minus. Scădeți 30 din 20.

$$x=-\frac{10}{50}$$

Reduceți fracția \frac{-10}{50} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4=9$$

Scădeți 4 din ambele părți.

$$25x^{2}-20x=9-4$$

Scădeți 4 din 9 pentru a obține 5.

$$25x^{2}-20x=5$$

Se împart ambele părți la 25.

$$\frac{25x^{2}-20x}{25}=\frac{5}{25}$$

Împărțirea la 25 anulează înmulțirea cu 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{25}\right)x=\frac{5}{25}$$

Reduceți fracția \frac{-20}{25} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{5}{25}$$

Reduceți fracția \frac{5}{25} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}$$

Împărțiți -\frac{4}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{2}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{2}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{2}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}$$

Adunați \frac{1}{5} cu \frac{4}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}$$

Adunați \frac{2}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$