Rezolvați left(5x+1right)^2-3(5x+1)-4=0

$${ \left(5x+1 \right) }^{ 2 } -3(5x+1)-4=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=\frac{3}{5}=0,6$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x+1\right)^{2}.

$$25x^{2}+10x+1-3\left(5x+1\right)-4=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -3 cu 5x+1.

$$25x^{2}+10x+1-15x-3-4=0$$

Combinați 10x cu -15x pentru a obține -5x.

$$25x^{2}-5x+1-3-4=0$$

Scădeți 3 din 1 pentru a obține -2.

$$25x^{2}-5x-2-4=0$$

Scădeți 4 din -2 pentru a obține -6.

$$25x^{2}-5x-6=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 25x^{2}+ax+bx-6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-5 ab=25\left(-6\right)=-150$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -150.

$$1,-150 2,-75 3,-50 5,-30 6,-25 10,-15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-150=-149 2-75=-73 3-50=-47 5-30=-25 6-25=-19 10-15=-5$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=-15 b=10$$

Rescrieți 25x^{2}-5x-6 ca \left(25x^{2}-15x\right)+\left(10x-6\right).

$$\left(25x^{2}-15x\right)+\left(10x-6\right)$$

Factor 5x în primul și 2 în al doilea grup.

$$5x\left(5x-3\right)+2\left(5x-3\right)$$

Scoateți termenul comun 5x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5x-3\right)\left(5x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 5x-3=0 și 5x+2=0.

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{2}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x+1\right)^{2}.

$$25x^{2}+10x+1-3\left(5x+1\right)-4=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -3 cu 5x+1.

$$25x^{2}+10x+1-15x-3-4=0$$

Combinați 10x cu -15x pentru a obține -5x.

$$25x^{2}-5x+1-3-4=0$$

Scădeți 3 din 1 pentru a obține -2.

$$25x^{2}-5x-2-4=0$$

Scădeți 4 din -2 pentru a obține -6.

$$25x^{2}-5x-6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 25, b cu -5 și c cu -6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 25\left(-6\right)}}{2\times 25}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 25\left(-6\right)}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -4 cu 25.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-100\left(-6\right)}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -100 cu -6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+600}}{2\times 25}$$

Adunați 25 cu 600.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{625}}{2\times 25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 625.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±25}{2\times 25}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±25}{2\times 25}$$

Înmulțiți 2 cu 25.

$$x=\frac{5±25}{50}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±25}{50} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu 25.

$$x=\frac{30}{50}$$

Reduceți fracția \frac{30}{50} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=\frac{3}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±25}{50} atunci când ± este minus. Scădeți 25 din 5.

$$x=-\frac{20}{50}$$

Reduceți fracția \frac{-20}{50} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{2}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x+1\right)^{2}.

$$25x^{2}+10x+1-3\left(5x+1\right)-4=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -3 cu 5x+1.

$$25x^{2}+10x+1-15x-3-4=0$$

Combinați 10x cu -15x pentru a obține -5x.

$$25x^{2}-5x+1-3-4=0$$

Scădeți 3 din 1 pentru a obține -2.

$$25x^{2}-5x-2-4=0$$

Scădeți 4 din -2 pentru a obține -6.

$$25x^{2}-5x-6=0$$

Adăugați 6 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$25x^{2}-5x=6$$

Se împart ambele părți la 25.

$$\frac{25x^{2}-5x}{25}=\frac{6}{25}$$

Împărțirea la 25 anulează înmulțirea cu 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{25}\right)x=\frac{6}{25}$$

Reduceți fracția \frac{-5}{25} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{6}{25}$$

Împărțiți -\frac{1}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{10}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{6}{25}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{6}{25}+\frac{1}{100}$$

Adunați \frac{6}{25} cu \frac{1}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{1}{4}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{1}{2} x-\frac{1}{10}=-\frac{1}{2}$$

Adunați \frac{1}{10} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{2}{5}$$