Rezolvați left(2x-3right)^2=49

$${ \left(2x-3 \right) }^{ 2 } =49$$

Rezolvați pentru x

$$x=5$$

$$x=-2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

Scădeți 49 din ambele părți.

$$4x^{2}-12x+9-49=0$$

Scădeți 49 din 9 pentru a obține -40.

$$4x^{2}-12x-40=0$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x^{2}-3x-10=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -10.

$$1,-10 2,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -3.

$$a=-5 b=2$$

Rescrieți x^{2}-3x-10 ca \left(x^{2}-5x\right)+\left(2x-10\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(2x-10\right)$$

Factor x în primul și 2 în al doilea grup.

$$x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

Scoateți termenul comun x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-5\right)\left(x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-5=0 și x+2=0.

$$x=5 x=-2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

Scădeți 49 din ambele părți.

$$4x^{2}-12x+9-49=0$$

Scădeți 49 din 9 pentru a obține -40.

$$4x^{2}-12x-40=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -12 și c cu -40 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -40.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+640}}{2\times 4}$$

Adunați 144 cu 640.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{784}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 784.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±28}{2\times 4}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$x=\frac{12±28}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{12±28}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±28}{8} atunci când ± este plus. Adunați 12 cu 28.

$$x=\frac{40}{8}$$

Împărțiți 40 la 8.

$$x=5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±28}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 28 din 12.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Împărțiți -16 la 8.

$$x=-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=5 x=-2$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

Scădeți 9 din ambele părți.

$$4x^{2}-12x=49-9$$

Scădeți 9 din 49 pentru a obține 40.

$$4x^{2}-12x=40$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{40}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{40}{4}$$

Împărțiți -12 la 4.

$$x^{2}-3x=\frac{40}{4}$$

Împărțiți 40 la 4.

$$x^{2}-3x=10$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Adunați 10 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Factor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=5 x=-2$$