Rezolvați left(2xright)^2-2x-3=0

$${ \left(2x \right) }^{ 2 } -2x-3=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{13} + 1}{4} \approx 1,151387819$$

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}\approx -0,651387819$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Extindeți \left(2x\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}-2x-3=0$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$4x^{2}-2x-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -2 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+48}}{2\times 4}$$

Adunați 4 cu 48.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{52}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 52.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{13}}{2\times 4}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{13}}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{13}}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{13}}{8} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 2\sqrt{13}.

$$x=\frac{2\sqrt{13}+2}{8}$$

Împărțiți 2+2\sqrt{13} la 8.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{13}}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{13} din 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{13}}{8}$$

Împărțiți 2-2\sqrt{13} la 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Extindeți \left(2x\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}-2x-3=0$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$4x^{2}-2x-3=0$$

Adăugați 3 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$4x^{2}-2x=3$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{3}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{3}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{3}{4}$$

Împărțiți -\frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3}{4}+\frac{1}{16}$$

Adunați \frac{3}{4} cu \frac{1}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{13}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{13}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{13}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{13}}{4}$$

Adunați \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}$$