Rezolvați left(12-xright)^2+144=9x^2

$${ \left(12-x \right) }^{ 2 } +144=9 { x }^{ 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{3 \sqrt{17} - 3}{2} \approx 4,684658438$$

$$x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2}\approx -7,684658438$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(12-x\right)^{2}.

$$144-24x+x^{2}+144=9x^{2}$$

Adunați 144 și 144 pentru a obține 288.

$$288-24x+x^{2}=9x^{2}$$

Scădeți 9x^{2} din ambele părți.

$$288-24x+x^{2}-9x^{2}=0$$

Combinați x^{2} cu -9x^{2} pentru a obține -8x^{2}.

$$288-24x-8x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-8x^{2}-24x+288=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -8, b cu -24 și c cu 288 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-8\right)\times 288}}{2\left(-8\right)}$$

Ridicați -24 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-8\right)\times 288}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -8.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+32\times 288}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 32 cu 288.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+9216}}{2\left(-8\right)}$$

Adunați 576 cu 9216.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{9792}}{2\left(-8\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9792.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±24\sqrt{17}}{2\left(-8\right)}$$

Opusul lui -24 este 24.

$$x=\frac{24±24\sqrt{17}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -8.

$$x=\frac{24±24\sqrt{17}}{-16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{24±24\sqrt{17}}{-16} atunci când ± este plus. Adunați 24 cu 24\sqrt{17}.

$$x=\frac{24\sqrt{17}+24}{-16}$$

Împărțiți 24+24\sqrt{17} la -16.

$$x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{24±24\sqrt{17}}{-16} atunci când ± este minus. Scădeți 24\sqrt{17} din 24.

$$x=\frac{24-24\sqrt{17}}{-16}$$

Împărțiți 24-24\sqrt{17} la -16.

$$x=\frac{3\sqrt{17}-3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2} x=\frac{3\sqrt{17}-3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(12-x\right)^{2}.

$$144-24x+x^{2}+144=9x^{2}$$

Adunați 144 și 144 pentru a obține 288.

$$288-24x+x^{2}=9x^{2}$$

Scădeți 9x^{2} din ambele părți.

$$288-24x+x^{2}-9x^{2}=0$$

Combinați x^{2} cu -9x^{2} pentru a obține -8x^{2}.

$$288-24x-8x^{2}=0$$

Scădeți 288 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-24x-8x^{2}=-288$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}-24x=-288$$

Se împart ambele părți la -8.

$$\frac{-8x^{2}-24x}{-8}=-\frac{288}{-8}$$

Împărțirea la -8 anulează înmulțirea cu -8.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{-8}\right)x=-\frac{288}{-8}$$

Împărțiți -24 la -8.

$$x^{2}+3x=-\frac{288}{-8}$$

Împărțiți -288 la -8.

$$x^{2}+3x=36$$

Împărțiți 3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=36+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=36+\frac{9}{4}$$

Adunați 36 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{153}{4}$$

Factorul x^{2}+3x+\frac{9}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{153}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{17}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{3\sqrt{17}}{2}$$

Scădeți \frac{3}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3\sqrt{17}-3}{2} x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2}$$