Rezolvați {left(05sqrt{3}xright)}^2+left(5-15xright)^2=left(1+xright)^2

$${ \left(05 \sqrt{ 3 } x \right) }^{ 2 } + { \left(5-15x \right) }^{ 2 } = { \left(1+x \right) }^{ 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți 0 cu 5 pentru a obține 0.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Orice număr înmulțit cu zero dă zero.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Calculați 0 la puterea 2 și obțineți 0.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5-15x\right)^{2}.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Adunați 0 și 25 pentru a obține 25.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(1+x\right)^{2}.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$25-150x+225x^{2}-1=2x+x^{2}$$

Scădeți 1 din 25 pentru a obține 24.

$$24-150x+225x^{2}=2x+x^{2}$$

Scădeți 2x din ambele părți.

$$24-150x+225x^{2}-2x=x^{2}$$

Combinați -150x cu -2x pentru a obține -152x.

$$24-152x+225x^{2}=x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$24-152x+225x^{2}-x^{2}=0$$

Combinați 225x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 224x^{2}.

$$24-152x+224x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$224x^{2}-152x+24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 224, b cu -152 și c cu 24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{\left(-152\right)^{2}-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

Ridicați -152 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

Înmulțiți -4 cu 224.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-896\times 24}}{2\times 224}$$

Înmulțiți -896 cu 24.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-21504}}{2\times 224}$$

Adunați 23104 cu -21504.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{1600}}{2\times 224}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1600.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±40}{2\times 224}$$

Opusul lui -152 este 152.

$$x=\frac{152±40}{2\times 224}$$

Înmulțiți 2 cu 224.

$$x=\frac{152±40}{448}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{152±40}{448} atunci când ± este plus. Adunați 152 cu 40.

$$x=\frac{192}{448}$$

Reduceți fracția \frac{192}{448} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 64.

$$x=\frac{3}{7}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{152±40}{448} atunci când ± este minus. Scădeți 40 din 152.

$$x=\frac{112}{448}$$

Reduceți fracția \frac{112}{448} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 112.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți 0 cu 5 pentru a obține 0.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Orice număr înmulțit cu zero dă zero.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Calculați 0 la puterea 2 și obțineți 0.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5-15x\right)^{2}.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Adunați 0 și 25 pentru a obține 25.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(1+x\right)^{2}.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

Scădeți 2x din ambele părți.

$$25-150x+225x^{2}-2x=1+x^{2}$$

Combinați -150x cu -2x pentru a obține -152x.

$$25-152x+225x^{2}=1+x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$25-152x+225x^{2}-x^{2}=1$$

Combinați 225x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 224x^{2}.

$$25-152x+224x^{2}=1$$

Scădeți 25 din ambele părți.

$$-152x+224x^{2}=1-25$$

Scădeți 25 din 1 pentru a obține -24.

$$-152x+224x^{2}=-24$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$224x^{2}-152x=-24$$

Se împart ambele părți la 224.

$$\frac{224x^{2}-152x}{224}=-\frac{24}{224}$$

Împărțirea la 224 anulează înmulțirea cu 224.

$$x^{2}+\left(-\frac{152}{224}\right)x=-\frac{24}{224}$$

Reduceți fracția \frac{-152}{224} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{24}{224}$$

Reduceți fracția \frac{-24}{224} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{3}{28}$$

Împărțiți -\frac{19}{28}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{19}{56}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{19}{56} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}=-\frac{3}{28}+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{19}{56} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=-\frac{3}{28}+\frac{361}{3136}$$

Adunați -\frac{3}{28} cu \frac{361}{3136} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=\frac{25}{3136}$$

Factor x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}=\frac{25}{3136}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{3136}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{19}{56}=\frac{5}{56} x-\frac{19}{56}=-\frac{5}{56}$$

Adunați \frac{19}{56} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$