Rezolvați {left(10/3right)}^2+{left(frac{2sqrt{73}}{3}right)}^2=2{left(frac{sqrt{52}}{3}right)}^2+2x^2

$${ \left( \frac{ 10 }{ 3 } \right) }^{ 2 } + { \left( \frac{ 2 \sqrt{ 73 } }{ 3 } \right) }^{ 2 } =2 { \left( \frac{ \sqrt{ 52 } }{ 3 } \right) }^{ 2 } +2 { x }^{ 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=4$$

$$x=-4$$

Pași folosind diferența pătratelor

Calculați \frac{10}{3} la puterea 2 și obțineți \frac{100}{9}.

$$\frac{100}{9}+\left(\frac{2\sqrt{73}}{3}\right)^{2}=2\times \left(\frac{\sqrt{52}}{3}\right)^{2}+2x^{2}$$

Pentru a ridica \frac{2\sqrt{73}}{3} la o putere, ridicați atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere, apoi împărțiți.

$$\frac{100}{9}+\frac{\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{3^{2}}=2\times \left(\frac{\sqrt{52}}{3}\right)^{2}+2x^{2}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Extindeți 3^{2}.

$$\frac{100}{9}+\frac{\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=2\times \left(\frac{\sqrt{52}}{3}\right)^{2}+2x^{2}$$

Deoarece \frac{100}{9} și \frac{\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{100+\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=2\times \left(\frac{\sqrt{52}}{3}\right)^{2}+2x^{2}$$

Descompuneți în factori 52=2^{2}\times 13. Rescrieți rădăcina pătrată a produsului \sqrt{2^{2}\times 13} ca produs a rădăcini pătrate \sqrt{2^{2}}\sqrt{13}. Aflați rădăcina pătrată pentru 2^{2}.

$$\frac{100+\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=2\times \left(\frac{2\sqrt{13}}{3}\right)^{2}+2x^{2}$$

Pentru a ridica \frac{2\sqrt{13}}{3} la o putere, ridicați atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere, apoi împărțiți.

$$\frac{100+\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=2\times \frac{\left(2\sqrt{13}\right)^{2}}{3^{2}}+2x^{2}$$

Exprimați 2\times \frac{\left(2\sqrt{13}\right)^{2}}{3^{2}} ca fracție unică.

$$\frac{100+\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}}{3^{2}}+2x^{2}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Înmulțiți 2x^{2} cu \frac{3^{2}}{3^{2}}.

$$\frac{100+\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}}{3^{2}}+\frac{2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Deoarece \frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}}{3^{2}} și \frac{2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{100+\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Extindeți \left(2\sqrt{73}\right)^{2}.

$$\frac{100+2^{2}\left(\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$\frac{100+4\left(\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Pătratul lui \sqrt{73} este 73.

$$\frac{100+4\times 73}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Înmulțiți 4 cu 73 pentru a obține 292.

$$\frac{100+292}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Adunați 100 și 292 pentru a obține 392.

$$\frac{392}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Extindeți \left(2\sqrt{13}\right)^{2}.

$$\frac{392}{9}=\frac{2\times 2^{2}\left(\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$\frac{392}{9}=\frac{2\times 4\left(\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Pătratul lui \sqrt{13} este 13.

$$\frac{392}{9}=\frac{2\times 4\times 13+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Înmulțiți 4 cu 13 pentru a obține 52.

$$\frac{392}{9}=\frac{2\times 52+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Înmulțiți 2 cu 52 pentru a obține 104.

$$\frac{392}{9}=\frac{104+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Calculați 3 la puterea 2 și obțineți 9.

$$\frac{392}{9}=\frac{104+2x^{2}\times 9}{3^{2}}$$

Înmulțiți 2 cu 9 pentru a obține 18.

$$\frac{392}{9}=\frac{104+18x^{2}}{3^{2}}$$

Calculați 3 la puterea 2 și obțineți 9.

$$\frac{392}{9}=\frac{104+18x^{2}}{9}$$

Împărțiți fiecare termen din 104+18x^{2} la 9 pentru a obține \frac{104}{9}+2x^{2}.

$$\frac{392}{9}=\frac{104}{9}+2x^{2}$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$\frac{104}{9}+2x^{2}=\frac{392}{9}$$

Scădeți \frac{392}{9} din ambele părți.

$$\frac{104}{9}+2x^{2}-\frac{392}{9}=0$$

Scădeți \frac{392}{9} din \frac{104}{9} pentru a obține -32.

$$-32+2x^{2}=0$$

Se împart ambele părți la 2.

$$-16+x^{2}=0$$

Să luăm -16+x^{2}. Rescrieți -16+x^{2} ca x^{2}-4^{2}. Diferența de pătrate poate fi descompusă în factori utilizând regula: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x-4\right)\left(x+4\right)=0$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-4=0 și x+4=0.

$$x=4 x=-4$$

Pași prin găsirea rădăcinii pătrate

Calculați \frac{10}{3} la puterea 2 și obțineți \frac{100}{9}.

$$\frac{100}{9}+\left(\frac{2\sqrt{73}}{3}\right)^{2}=2\times \left(\frac{\sqrt{52}}{3}\right)^{2}+2x^{2}$$

Pentru a ridica \frac{2\sqrt{73}}{3} la o putere, ridicați atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere, apoi împărțiți.

$$\frac{100}{9}+\frac{\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{3^{2}}=2\times \left(\frac{\sqrt{52}}{3}\right)^{2}+2x^{2}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Extindeți 3^{2}.

$$\frac{100}{9}+\frac{\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=2\times \left(\frac{\sqrt{52}}{3}\right)^{2}+2x^{2}$$

Deoarece \frac{100}{9} și \frac{\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{100+\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=2\times \left(\frac{\sqrt{52}}{3}\right)^{2}+2x^{2}$$

Descompuneți în factori 52=2^{2}\times 13. Rescrieți rădăcina pătrată a produsului \sqrt{2^{2}\times 13} ca produs a rădăcini pătrate \sqrt{2^{2}}\sqrt{13}. Aflați rădăcina pătrată pentru 2^{2}.

$$\frac{100+\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=2\times \left(\frac{2\sqrt{13}}{3}\right)^{2}+2x^{2}$$

Pentru a ridica \frac{2\sqrt{13}}{3} la o putere, ridicați atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere, apoi împărțiți.

$$\frac{100+\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=2\times \frac{\left(2\sqrt{13}\right)^{2}}{3^{2}}+2x^{2}$$

Exprimați 2\times \frac{\left(2\sqrt{13}\right)^{2}}{3^{2}} ca fracție unică.

$$\frac{100+\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}}{3^{2}}+2x^{2}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Înmulțiți 2x^{2} cu \frac{3^{2}}{3^{2}}.

$$\frac{100+\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}}{3^{2}}+\frac{2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Deoarece \frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}}{3^{2}} și \frac{2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{100+\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Extindeți \left(2\sqrt{73}\right)^{2}.

$$\frac{100+2^{2}\left(\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$\frac{100+4\left(\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Pătratul lui \sqrt{73} este 73.

$$\frac{100+4\times 73}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Înmulțiți 4 cu 73 pentru a obține 292.

$$\frac{100+292}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Adunați 100 și 292 pentru a obține 392.

$$\frac{392}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Extindeți \left(2\sqrt{13}\right)^{2}.

$$\frac{392}{9}=\frac{2\times 2^{2}\left(\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$\frac{392}{9}=\frac{2\times 4\left(\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Pătratul lui \sqrt{13} este 13.

$$\frac{392}{9}=\frac{2\times 4\times 13+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Înmulțiți 4 cu 13 pentru a obține 52.

$$\frac{392}{9}=\frac{2\times 52+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Înmulțiți 2 cu 52 pentru a obține 104.

$$\frac{392}{9}=\frac{104+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Calculați 3 la puterea 2 și obțineți 9.

$$\frac{392}{9}=\frac{104+2x^{2}\times 9}{3^{2}}$$

Înmulțiți 2 cu 9 pentru a obține 18.

$$\frac{392}{9}=\frac{104+18x^{2}}{3^{2}}$$

Calculați 3 la puterea 2 și obțineți 9.

$$\frac{392}{9}=\frac{104+18x^{2}}{9}$$

Împărțiți fiecare termen din 104+18x^{2} la 9 pentru a obține \frac{104}{9}+2x^{2}.

$$\frac{392}{9}=\frac{104}{9}+2x^{2}$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$\frac{104}{9}+2x^{2}=\frac{392}{9}$$

Scădeți \frac{104}{9} din ambele părți.

$$2x^{2}=\frac{392}{9}-\frac{104}{9}$$

Scădeți \frac{104}{9} din \frac{392}{9} pentru a obține 32.

$$2x^{2}=32$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x^{2}=\frac{32}{2}$$

Împărțiți 32 la 2 pentru a obține 16.

$$x^{2}=16$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$x=4 x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Calculați \frac{10}{3} la puterea 2 și obțineți \frac{100}{9}.

$$\frac{100}{9}+\left(\frac{2\sqrt{73}}{3}\right)^{2}=2\times \left(\frac{\sqrt{52}}{3}\right)^{2}+2x^{2}$$

Pentru a ridica \frac{2\sqrt{73}}{3} la o putere, ridicați atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere, apoi împărțiți.

$$\frac{100}{9}+\frac{\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{3^{2}}=2\times \left(\frac{\sqrt{52}}{3}\right)^{2}+2x^{2}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Extindeți 3^{2}.

$$\frac{100}{9}+\frac{\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=2\times \left(\frac{\sqrt{52}}{3}\right)^{2}+2x^{2}$$

Deoarece \frac{100}{9} și \frac{\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{100+\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=2\times \left(\frac{\sqrt{52}}{3}\right)^{2}+2x^{2}$$

Descompuneți în factori 52=2^{2}\times 13. Rescrieți rădăcina pătrată a produsului \sqrt{2^{2}\times 13} ca produs a rădăcini pătrate \sqrt{2^{2}}\sqrt{13}. Aflați rădăcina pătrată pentru 2^{2}.

$$\frac{100+\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=2\times \left(\frac{2\sqrt{13}}{3}\right)^{2}+2x^{2}$$

Pentru a ridica \frac{2\sqrt{13}}{3} la o putere, ridicați atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere, apoi împărțiți.

$$\frac{100+\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=2\times \frac{\left(2\sqrt{13}\right)^{2}}{3^{2}}+2x^{2}$$

Exprimați 2\times \frac{\left(2\sqrt{13}\right)^{2}}{3^{2}} ca fracție unică.

$$\frac{100+\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}}{3^{2}}+2x^{2}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Înmulțiți 2x^{2} cu \frac{3^{2}}{3^{2}}.

$$\frac{100+\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}}{3^{2}}+\frac{2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Deoarece \frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}}{3^{2}} și \frac{2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{100+\left(2\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Extindeți \left(2\sqrt{73}\right)^{2}.

$$\frac{100+2^{2}\left(\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$\frac{100+4\left(\sqrt{73}\right)^{2}}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Pătratul lui \sqrt{73} este 73.

$$\frac{100+4\times 73}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Înmulțiți 4 cu 73 pentru a obține 292.

$$\frac{100+292}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Adunați 100 și 292 pentru a obține 392.

$$\frac{392}{9}=\frac{2\times \left(2\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Extindeți \left(2\sqrt{13}\right)^{2}.

$$\frac{392}{9}=\frac{2\times 2^{2}\left(\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$\frac{392}{9}=\frac{2\times 4\left(\sqrt{13}\right)^{2}+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Pătratul lui \sqrt{13} este 13.

$$\frac{392}{9}=\frac{2\times 4\times 13+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Înmulțiți 4 cu 13 pentru a obține 52.

$$\frac{392}{9}=\frac{2\times 52+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Înmulțiți 2 cu 52 pentru a obține 104.

$$\frac{392}{9}=\frac{104+2x^{2}\times 3^{2}}{3^{2}}$$

Calculați 3 la puterea 2 și obțineți 9.

$$\frac{392}{9}=\frac{104+2x^{2}\times 9}{3^{2}}$$

Înmulțiți 2 cu 9 pentru a obține 18.

$$\frac{392}{9}=\frac{104+18x^{2}}{3^{2}}$$

Calculați 3 la puterea 2 și obțineți 9.

$$\frac{392}{9}=\frac{104+18x^{2}}{9}$$

Împărțiți fiecare termen din 104+18x^{2} la 9 pentru a obține \frac{104}{9}+2x^{2}.

$$\frac{392}{9}=\frac{104}{9}+2x^{2}$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$\frac{104}{9}+2x^{2}=\frac{392}{9}$$

Scădeți \frac{392}{9} din ambele părți.

$$\frac{104}{9}+2x^{2}-\frac{392}{9}=0$$

Scădeți \frac{392}{9} din \frac{104}{9} pentru a obține -32.

$$-32+2x^{2}=0$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta, cu un termen x^{2}, dar fără termen x, pot fi rezolvate totuși utilizând formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, odată ce sunt puse în forma standard: ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-32=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 0 și c cu -32 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 2\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 0 la pătrat.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4\times 2\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{0±\sqrt{-8\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -32.

$$x=\frac{0±\sqrt{256}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 256.

$$x=\frac{0±16}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{0±16}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{0±16}{4} atunci când ± este plus. Împărțiți 16 la 4.

$$x=4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{0±16}{4} atunci când ± este minus. Împărțiți -16 la 4.

$$x=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=4 x=-4$$