Rezolvați {left(1/4xright)}^2+{left(80/4-1/4xright)}^2=200

$${ \left( \frac{ 1 }{ 4 } x \right) }^{ 2 } + { \left( \frac{ 80 }{ 4 } - \frac{ 1 }{ 4 } x \right) }^{ 2 } =200$$

Rezolvați pentru x

$$x=40$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Extindeți \left(\frac{1}{4}x\right)^{2}.

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{2}x^{2}+\left(\frac{80}{4}-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Calculați \frac{1}{4} la puterea 2 și obțineți \frac{1}{16}.

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(\frac{80}{4}-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Împărțiți 80 la 4 pentru a obține 20.

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(20-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(20-\frac{1}{4}x\right)^{2}.

$$\frac{1}{16}x^{2}+400-10x+\frac{1}{16}x^{2}=200$$

Combinați \frac{1}{16}x^{2} cu \frac{1}{16}x^{2} pentru a obține \frac{1}{8}x^{2}.

$$\frac{1}{8}x^{2}+400-10x=200$$

Scădeți 200 din ambele părți.

$$\frac{1}{8}x^{2}+400-10x-200=0$$

Scădeți 200 din 400 pentru a obține 200.

$$\frac{1}{8}x^{2}+200-10x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$\frac{1}{8}x^{2}-10x+200=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu \frac{1}{8}, b cu -10 și c cu 200 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times \frac{1}{8}\times 200}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Ridicați -10 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times \frac{1}{8}\times 200}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Înmulțiți -4 cu \frac{1}{8}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-\frac{1}{2}\times 200}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Înmulțiți -\frac{1}{2} cu 200.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-100}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Adunați 100 cu -100.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{0}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{-10}{2\times \frac{1}{8}}$$

Opusul lui -10 este 10.

$$x=\frac{10}{2\times \frac{1}{8}}$$

Înmulțiți 2 cu \frac{1}{8}.

$$x=\frac{10}{\frac{1}{4}}$$

Împărțiți 10 la \frac{1}{4} înmulțind pe 10 cu reciproca lui \frac{1}{4}.

$$x=40$$

Pași pentru completarea pătratului

Extindeți \left(\frac{1}{4}x\right)^{2}.

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{2}x^{2}+\left(\frac{80}{4}-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Calculați \frac{1}{4} la puterea 2 și obțineți \frac{1}{16}.

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(\frac{80}{4}-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Împărțiți 80 la 4 pentru a obține 20.

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(20-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(20-\frac{1}{4}x\right)^{2}.

$$\frac{1}{16}x^{2}+400-10x+\frac{1}{16}x^{2}=200$$

Combinați \frac{1}{16}x^{2} cu \frac{1}{16}x^{2} pentru a obține \frac{1}{8}x^{2}.

$$\frac{1}{8}x^{2}+400-10x=200$$

Scădeți 400 din ambele părți.

$$\frac{1}{8}x^{2}-10x=200-400$$

Scădeți 400 din 200 pentru a obține -200.

$$\frac{1}{8}x^{2}-10x=-200$$

Se înmulțesc ambele părți cu 8.

$$\frac{\frac{1}{8}x^{2}-10x}{\frac{1}{8}}=-\frac{200}{\frac{1}{8}}$$

Împărțirea la \frac{1}{8} anulează înmulțirea cu \frac{1}{8}.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{\frac{1}{8}}\right)x=-\frac{200}{\frac{1}{8}}$$

Împărțiți -10 la \frac{1}{8} înmulțind pe -10 cu reciproca lui \frac{1}{8}.

$$x^{2}-80x=-\frac{200}{\frac{1}{8}}$$

Împărțiți -200 la \frac{1}{8} înmulțind pe -200 cu reciproca lui \frac{1}{8}.

$$x^{2}-80x=-1600$$

Împărțiți -80, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -40. Apoi, adunați pătratul lui -40 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-80x+\left(-40\right)^{2}=-1600+\left(-40\right)^{2}$$

Ridicați -40 la pătrat.

$$x^{2}-80x+1600=-1600+1600$$

Adunați -1600 cu 1600.

$$x^{2}-80x+1600=0$$

Factor x^{2}-80x+1600. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-40\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-40\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$x-40=0 x-40=0$$

Adunați 40 la ambele părți ale ecuației.

$$x=40 x=40$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$x=40$$