Rezolvați {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

Evaluați

$$4\sqrt{3}+7\approx 13,92820323$$

Pașii soluției

Raționalizați numitor de \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Să luăm \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Ridicați \sqrt{3} la pătrat. Ridicați 1 la pătrat.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Scădeți 1 din 3 pentru a obține 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Înmulțiți \sqrt{3}+1 cu \sqrt{3}+1 pentru a obține \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Adunați 3 și 1 pentru a obține 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Împărțiți fiecare termen din 4+2\sqrt{3} la 2 pentru a obține 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Adunați 4 și 3 pentru a obține 7.

$$7+4\sqrt{3}$$

Extindere

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13,92820323$$

Pașii soluției

Raționalizați numitor de \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Să luăm \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Ridicați \sqrt{3} la pătrat. Ridicați 1 la pătrat.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Scădeți 1 din 3 pentru a obține 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Înmulțiți \sqrt{3}+1 cu \sqrt{3}+1 pentru a obține \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Adunați 3 și 1 pentru a obține 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Împărțiți fiecare termen din 4+2\sqrt{3} la 2 pentru a obține 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Adunați 4 și 3 pentru a obține 7.

$$7+4\sqrt{3}$$