Rezolvați left(u+1right)^2=2u^2+5u+3

$${ \left( u+1 \right) }^{ 2 } =2 { u }^{ 2 } +5u+3$$

Rezolvați pentru u

$$u=-1$$

$$u=-2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(u+1\right)^{2}.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Scădeți 2u^{2} din ambele părți.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Combinați u^{2} cu -2u^{2} pentru a obține -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Scădeți 5u din ambele părți.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Combinați 2u cu -5u pentru a obține -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Scădeți 3 din ambele părți.

$$-u^{2}-3u+1-3=0$$

Scădeți 3 din 1 pentru a obține -2.

$$-u^{2}-3u-2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca -u^{2}+au+bu-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-1 b=-2$$

Rescrieți -u^{2}-3u-2 ca \left(-u^{2}-u\right)+\left(-2u-2\right).

$$\left(-u^{2}-u\right)+\left(-2u-2\right)$$

Scoateți scoateți factorul u din primul și 2 din cel de-al doilea grup.

$$u\left(-u-1\right)+2\left(-u-1\right)$$

Scoateți termenul comun -u-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-u-1\right)\left(u+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați -u-1=0 și u+2=0.

$$u=-1 u=-2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(u+1\right)^{2}.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Scădeți 2u^{2} din ambele părți.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Combinați u^{2} cu -2u^{2} pentru a obține -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Scădeți 5u din ambele părți.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Combinați 2u cu -5u pentru a obține -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Scădeți 3 din ambele părți.

$$-u^{2}-3u+1-3=0$$

Scădeți 3 din 1 pentru a obține -2.

$$-u^{2}-3u-2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -3 și c cu -2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -2.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 9 cu -8.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±1}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -3 este 3.

$$u=\frac{3±1}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$u=\frac{3±1}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația u=\frac{3±1}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 3 cu 1.

$$u=\frac{4}{-2}$$

Împărțiți 4 la -2.

$$u=-2$$

Acum rezolvați ecuația u=\frac{3±1}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din 3.

$$u=\frac{2}{-2}$$

Împărțiți 2 la -2.

$$u=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$u=-2 u=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(u+1\right)^{2}.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Scădeți 2u^{2} din ambele părți.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Combinați u^{2} cu -2u^{2} pentru a obține -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Scădeți 5u din ambele părți.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Combinați 2u cu -5u pentru a obține -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$-u^{2}-3u=3-1$$

Scădeți 1 din 3 pentru a obține 2.

$$-u^{2}-3u=2$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-u^{2}-3u}{-1}=\frac{2}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$u^{2}+\left(-\frac{3}{-1}\right)u=\frac{2}{-1}$$

Împărțiți -3 la -1.

$$u^{2}+3u=\frac{2}{-1}$$

Împărțiți 2 la -1.

$$u^{2}+3u=-2$$

Împărțiți 3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$u^{2}+3u+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$u^{2}+3u+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Adunați -2 cu \frac{9}{4}.

$$u^{2}+3u+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Factorul u^{2}+3u+\frac{9}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(u+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(u+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplificați.

$$u+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} u+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Scădeți \frac{3}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$u=-1 u=-2$$