Rezolvați sqrt{x-4}-sqrt{4x-27}+sqrt{x-9}=0

$$\sqrt{ x-4 } - \sqrt{ 4x-27 } + \sqrt{ x-9 } =0$$

Rezolvați pentru x

$$x=13$$

Pașii soluției

Scădeți -\sqrt{4x-27}+\sqrt{x-9} din ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{x-4}=-\left(-\sqrt{4x-27}+\sqrt{x-9}\right)$$

Pentru a găsi opusul lui -\sqrt{4x-27}+\sqrt{x-9}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$\sqrt{x-4}=-\left(-\sqrt{4x-27}\right)-\sqrt{x-9}$$

Opusul lui -\sqrt{4x-27} este \sqrt{4x-27}.

$$\sqrt{x-4}=\sqrt{4x-27}-\sqrt{x-9}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}=\left(\sqrt{4x-27}-\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x-4} la puterea 2 și obțineți x-4.

$$x-4=\left(\sqrt{4x-27}-\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\sqrt{4x-27}-\sqrt{x-9}\right)^{2}.

$$x-4=\left(\sqrt{4x-27}\right)^{2}-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}+\left(\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{4x-27} la puterea 2 și obțineți 4x-27.

$$x-4=4x-27-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}+\left(\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x-9} la puterea 2 și obțineți x-9.

$$x-4=4x-27-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}+x-9$$

Combinați 4x cu x pentru a obține 5x.

$$x-4=5x-27-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}-9$$

Scădeți 9 din -27 pentru a obține -36.

$$x-4=5x-36-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}$$

Scădeți 5x-36 din ambele părți ale ecuației.

$$x-4-\left(5x-36\right)=-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}$$

Pentru a găsi opusul lui 5x-36, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x-4-5x+36=-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}$$

Combinați x cu -5x pentru a obține -4x.

$$-4x-4+36=-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}$$

Adunați -4 și 36 pentru a obține 32.

$$-4x+32=-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(-4x+32\right)^{2}=\left(-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-4x+32\right)^{2}.

$$16x^{2}-256x+1024=\left(-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Extindeți \left(-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}\right)^{2}.

$$16x^{2}-256x+1024=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{4x-27}\right)^{2}\left(\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Calculați -2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$16x^{2}-256x+1024=4\left(\sqrt{4x-27}\right)^{2}\left(\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{4x-27} la puterea 2 și obțineți 4x-27.

$$16x^{2}-256x+1024=4\left(4x-27\right)\left(\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x-9} la puterea 2 și obțineți x-9.

$$16x^{2}-256x+1024=4\left(4x-27\right)\left(x-9\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu 4x-27.

$$16x^{2}-256x+1024=\left(16x-108\right)\left(x-9\right)$$

Aplicați proprietatea distributivă prin înmulțirea fiecărui termen de 16x-108 la fiecare termen de x-9.

$$16x^{2}-256x+1024=16x^{2}-144x-108x+972$$

Combinați -144x cu -108x pentru a obține -252x.

$$16x^{2}-256x+1024=16x^{2}-252x+972$$

Scădeți 16x^{2} din ambele părți.

$$16x^{2}-256x+1024-16x^{2}=-252x+972$$

Combinați 16x^{2} cu -16x^{2} pentru a obține 0.

$$-256x+1024=-252x+972$$

Adăugați 252x la ambele părți.

$$-256x+1024+252x=972$$

Combinați -256x cu 252x pentru a obține -4x.

$$-4x+1024=972$$

Scădeți 1024 din ambele părți.

$$-4x=972-1024$$

Scădeți 1024 din 972 pentru a obține -52.

$$-4x=-52$$

Se împart ambele părți la -4.

$$x=\frac{-52}{-4}$$

Împărțiți -52 la -4 pentru a obține 13.

$$x=13$$

Înlocuiți x cu 13 în ecuația \sqrt{x-4}-\sqrt{4x-27}+\sqrt{x-9}=0.

$$\sqrt{13-4}-\sqrt{4\times 13-27}+\sqrt{13-9}=0$$

Simplificați. Valoarea x=13 corespunde ecuației.

$$0=0$$

Ecuația \sqrt{x-4}=\sqrt{4x-27}-\sqrt{x-9} are o soluție unică.

$$x=13$$