Rezolvați sqrt{7-2x}-sqrt{5+x}=sqrt{4+3x}

$$\sqrt{ 7-2x } - \sqrt{ 5+x } = \sqrt{ 4+3x }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

Pașii soluției

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{7-2x}-\sqrt{5+x}\right)^{2}=\left(\sqrt{4+3x}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\sqrt{7-2x}-\sqrt{5+x}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{7-2x}\right)^{2}-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}+\left(\sqrt{5+x}\right)^{2}=\left(\sqrt{4+3x}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{7-2x} la puterea 2 și obțineți 7-2x.

$$7-2x-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}+\left(\sqrt{5+x}\right)^{2}=\left(\sqrt{4+3x}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{5+x} la puterea 2 și obțineți 5+x.

$$7-2x-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}+5+x=\left(\sqrt{4+3x}\right)^{2}$$

Adunați 7 și 5 pentru a obține 12.

$$12-2x-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}+x=\left(\sqrt{4+3x}\right)^{2}$$

Combinați -2x cu x pentru a obține -x.

$$12-x-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}=\left(\sqrt{4+3x}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{4+3x} la puterea 2 și obțineți 4+3x.

$$12-x-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}=4+3x$$

Scădeți 12-x din ambele părți ale ecuației.

$$-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}=4+3x-\left(12-x\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 12-x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}=4+3x-12+x$$

Scădeți 12 din 4 pentru a obține -8.

$$-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}=-8+3x+x$$

Combinați 3x cu x pentru a obține 4x.

$$-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}=-8+4x$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}\right)^{2}=\left(-8+4x\right)^{2}$$

Extindeți \left(-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{7-2x}\right)^{2}\left(\sqrt{5+x}\right)^{2}=\left(-8+4x\right)^{2}$$

Calculați -2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$4\left(\sqrt{7-2x}\right)^{2}\left(\sqrt{5+x}\right)^{2}=\left(-8+4x\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{7-2x} la puterea 2 și obțineți 7-2x.

$$4\left(7-2x\right)\left(\sqrt{5+x}\right)^{2}=\left(-8+4x\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{5+x} la puterea 2 și obțineți 5+x.

$$4\left(7-2x\right)\left(5+x\right)=\left(-8+4x\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu 7-2x.

$$\left(28-8x\right)\left(5+x\right)=\left(-8+4x\right)^{2}$$

Aplicați proprietatea distributivă prin înmulțirea fiecărui termen de 28-8x la fiecare termen de 5+x.

$$140+28x-40x-8x^{2}=\left(-8+4x\right)^{2}$$

Combinați 28x cu -40x pentru a obține -12x.

$$140-12x-8x^{2}=\left(-8+4x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-8+4x\right)^{2}.

$$140-12x-8x^{2}=64-64x+16x^{2}$$

Scădeți 64 din ambele părți.

$$140-12x-8x^{2}-64=-64x+16x^{2}$$

Scădeți 64 din 140 pentru a obține 76.

$$76-12x-8x^{2}=-64x+16x^{2}$$

Adăugați 64x la ambele părți.

$$76-12x-8x^{2}+64x=16x^{2}$$

Combinați -12x cu 64x pentru a obține 52x.

$$76+52x-8x^{2}=16x^{2}$$

Scădeți 16x^{2} din ambele părți.

$$76+52x-8x^{2}-16x^{2}=0$$

Combinați -8x^{2} cu -16x^{2} pentru a obține -24x^{2}.

$$76+52x-24x^{2}=0$$

Se împart ambele părți la 4.

$$19+13x-6x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -6x^{2}+ax+bx+19. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -114.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

Soluția este perechea care dă suma de 13.

$$a=19 b=-6$$

Rescrieți -6x^{2}+13x+19 ca \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Factor -x în primul și -1 în al doilea grup.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Scoateți termenul comun 6x-19 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 6x-19=0 și -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Înlocuiți x cu \frac{19}{6} în ecuația \sqrt{7-2x}-\sqrt{5+x}=\sqrt{4+3x}.

$$\sqrt{7-2\times \frac{19}{6}}-\sqrt{5+\frac{19}{6}}=\sqrt{4+3\times \frac{19}{6}}$$

Simplificați. Valoarea x=\frac{19}{6} nu respectă ecuația, deoarece partea stângă și a semnului din dreapta au semne opuse.

$$-\frac{5}{6}\times 6^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\times 6^{\frac{1}{2}}$$

Înlocuiți x cu -1 în ecuația \sqrt{7-2x}-\sqrt{5+x}=\sqrt{4+3x}.

$$\sqrt{7-2\left(-1\right)}-\sqrt{5-1}=\sqrt{4+3\left(-1\right)}$$

Simplificați. Valoarea x=-1 corespunde ecuației.

$$1=1$$

Ecuația -\sqrt{x+5}+\sqrt{7-2x}=\sqrt{3x+4} are o soluție unică.

$$x=-1$$