Rezolvați sqrt{4y+1}-sqrt{y-2}=3

$$\sqrt{ 4y+1 } - \sqrt{ y-2 } =3$$

Rezolvați pentru y

$$y=6$$

$$y=2$$

Pașii soluției

Scădeți -\sqrt{y-2} din ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{4y+1}=3+\sqrt{y-2}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{4y+1}\right)^{2}=\left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{4y+1} la puterea 2 și obțineți 4y+1.

$$4y+1=\left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}.

$$4y+1=9+6\sqrt{y-2}+\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{y-2} la puterea 2 și obțineți y-2.

$$4y+1=9+6\sqrt{y-2}+y-2$$

Scădeți 2 din 9 pentru a obține 7.

$$4y+1=7+6\sqrt{y-2}+y$$

Scădeți 7+y din ambele părți ale ecuației.

$$4y+1-\left(7+y\right)=6\sqrt{y-2}$$

Pentru a găsi opusul lui 7+y, găsiți opusul fiecărui termen.

$$4y+1-7-y=6\sqrt{y-2}$$

Scădeți 7 din 1 pentru a obține -6.

$$4y-6-y=6\sqrt{y-2}$$

Combinați 4y cu -y pentru a obține 3y.

$$3y-6=6\sqrt{y-2}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(3y-6\right)^{2}=\left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3y-6\right)^{2}.

$$9y^{2}-36y+36=\left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Extindeți \left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}.

$$9y^{2}-36y+36=6^{2}\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Calculați 6 la puterea 2 și obțineți 36.

$$9y^{2}-36y+36=36\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{y-2} la puterea 2 și obțineți y-2.

$$9y^{2}-36y+36=36\left(y-2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 36 cu y-2.

$$9y^{2}-36y+36=36y-72$$

Scădeți 36y din ambele părți.

$$9y^{2}-36y+36-36y=-72$$

Combinați -36y cu -36y pentru a obține -72y.

$$9y^{2}-72y+36=-72$$

Adăugați 72 la ambele părți.

$$9y^{2}-72y+36+72=0$$

Adunați 36 și 72 pentru a obține 108.

$$9y^{2}-72y+108=0$$

Se împart ambele părți la 9.

$$y^{2}-8y+12=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca y^{2}+ay+by+12. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Soluția este perechea care dă suma de -8.

$$a=-6 b=-2$$

Rescrieți y^{2}-8y+12 ca \left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right).

$$\left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right)$$

Factor y în primul și -2 în al doilea grup.

$$y\left(y-6\right)-2\left(y-6\right)$$

Scoateți termenul comun y-6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(y-6\right)\left(y-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați y-6=0 și y-2=0.

$$y=6 y=2$$

Înlocuiți y cu 6 în ecuația \sqrt{4y+1}-\sqrt{y-2}=3.

$$\sqrt{4\times 6+1}-\sqrt{6-2}=3$$

Simplificați. Valoarea y=6 corespunde ecuației.

$$3=3$$

Înlocuiți y cu 2 în ecuația \sqrt{4y+1}-\sqrt{y-2}=3.

$$\sqrt{4\times 2+1}-\sqrt{2-2}=3$$

Simplificați. Valoarea y=2 corespunde ecuației.

$$3=3$$

Enumerați toate soluțiile ecuației \sqrt{4y+1}=\sqrt{y-2}+3.

$$y=6 y=2$$