Rezolvați sqrt{2x-3}=2+sqrt{x-5}

$$\sqrt{ 2x-3 } = 2+ \sqrt{ x-5 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=14$$

$$x=6$$

Pașii soluției

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{2x-3} la puterea 2 și obțineți 2x-3.

$$2x-3=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x-5} la puterea 2 și obțineți x-5.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+x-5$$

Scădeți 5 din 4 pentru a obține -1.

$$2x-3=-1+4\sqrt{x-5}+x$$

Scădeți -1+x din ambele părți ale ecuației.

$$2x-3-\left(-1+x\right)=4\sqrt{x-5}$$

Pentru a găsi opusul lui -1+x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2x-3+1-x=4\sqrt{x-5}$$

Adunați -3 și 1 pentru a obține -2.

$$2x-2-x=4\sqrt{x-5}$$

Combinați 2x cu -x pentru a obține x.

$$x-2=4\sqrt{x-5}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Extindeți \left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calculați 4 la puterea 2 și obțineți 16.

$$x^{2}-4x+4=16\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x-5} la puterea 2 și obțineți x-5.

$$x^{2}-4x+4=16\left(x-5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 16 cu x-5.

$$x^{2}-4x+4=16x-80$$

Scădeți 16x din ambele părți.

$$x^{2}-4x+4-16x=-80$$

Combinați -4x cu -16x pentru a obține -20x.

$$x^{2}-20x+4=-80$$

Adăugați 80 la ambele părți.

$$x^{2}-20x+4+80=0$$

Adunați 4 și 80 pentru a obține 84.

$$x^{2}-20x+84=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-20x+84 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-20 ab=84$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 84.

$$-1,-84 -2,-42 -3,-28 -4,-21 -6,-14 -7,-12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-84=-85 -2-42=-44 -3-28=-31 -4-21=-25 -6-14=-20 -7-12=-19$$

Soluția este perechea care dă suma de -20.

$$a=-14 b=-6$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-14\right)\left(x-6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-14=0 și x-6=0.

$$x=14 x=6$$

Înlocuiți x cu 14 în ecuația \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 14-3}=2+\sqrt{14-5}$$

Simplificați. Valoarea x=14 corespunde ecuației.

$$5=5$$

Înlocuiți x cu 6 în ecuația \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 6-3}=2+\sqrt{6-5}$$

Simplificați. Valoarea x=6 corespunde ecuației.

$$3=3$$

Enumerați toate soluțiile ecuației \sqrt{2x-3}=\sqrt{x-5}+2.

$$x=14 x=6$$