Rezolvați sqrt{2x+3x^2}=2x^2

$$\sqrt{ 2x+3 { x }^{ 2 } } =2 { x }^{ 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{3}}}{2} \approx 1,097911673$$

$$x=0$$

Pașii soluției

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{2x+3x^{2}}\right)^{2}=\left(2x^{2}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{2x+3x^{2}} la puterea 2 și obțineți 2x+3x^{2}.

$$2x+3x^{2}=\left(2x^{2}\right)^{2}$$

Extindeți \left(2x^{2}\right)^{2}.

$$2x+3x^{2}=2^{2}\left(x^{2}\right)^{2}$$

Pentru a ridica o putere la o altă putere, înmulțiți exponenții. Înmulțiți 2 cu 2 pentru a obține 4.

$$2x+3x^{2}=2^{2}x^{4}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$2x+3x^{2}=4x^{4}$$

Scădeți 4x^{4} din ambele părți.

$$2x+3x^{2}-4x^{4}=0$$

Înlocuiți x^{2} cu t.

$$-4t^{2}+3t+2=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu -4, b cu 3 și c cu 2.

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-4\right)\times 2}}{-4\times 2}$$

Faceți calculele.

$$t=\frac{-3±\sqrt{41}}{-8}$$

Rezolvați ecuația t=\frac{-3±\sqrt{41}}{-8} când ± este plus și când ± este minus.

$$t=\frac{3-\sqrt{41}}{8} t=\frac{\sqrt{41}+3}{8}$$

De la x=t^{2}, soluțiile sunt obținute prin evaluarea x=±\sqrt{t} pentru t pozitive.

$$x=\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} x=-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}$$

Înlocuiți x cu \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} în ecuația \sqrt{2x+3x^{2}}=2x^{2}.

$$\sqrt{2\times \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}+3\times \left(\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}}=2\times \left(\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}$$

Simplificați. Valoarea x=\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} nu respectă ecuația.

$$\frac{1}{2}\left(2\times 2^{\frac{1}{2}}\left(41^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{9}{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{4}$$

Înlocuiți x cu -\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} în ecuația \sqrt{2x+3x^{2}}=2x^{2}.

$$\sqrt{2\left(-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)+3\left(-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}}=2\left(-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}$$

Simplificați. Valoarea x=-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} nu respectă ecuația.

$$\frac{1}{2}\left(-2\times 2^{\frac{1}{2}}\left(41^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{9}{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{4}$$

Ecuația \sqrt{3x^{2}+2x}=2x^{2} nu are soluție.

$$x\in \emptyset$$