Rezolvați sqrt{1+x}=1+sqrt{1-x}

$$\sqrt{ 1+x } =1+ \sqrt{ 1-x }$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866025404$$

Pașii soluției

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{1-x}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{1+x} la puterea 2 și obțineți 1+x.

$$1+x=\left(1+\sqrt{1-x}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(1+\sqrt{1-x}\right)^{2}.

$$1+x=1+2\sqrt{1-x}+\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{1-x} la puterea 2 și obțineți 1-x.

$$1+x=1+2\sqrt{1-x}+1-x$$

Adunați 1 și 1 pentru a obține 2.

$$1+x=2+2\sqrt{1-x}-x$$

Scădeți 2-x din ambele părți ale ecuației.

$$1+x-\left(2-x\right)=2\sqrt{1-x}$$

Pentru a găsi opusul lui 2-x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$1+x-2+x=2\sqrt{1-x}$$

Scădeți 2 din 1 pentru a obține -1.

$$-1+x+x=2\sqrt{1-x}$$

Combinați x cu x pentru a obține 2x.

$$-1+2x=2\sqrt{1-x}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(-1+2x\right)^{2}=\left(2\sqrt{1-x}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-1+2x\right)^{2}.

$$1-4x+4x^{2}=\left(2\sqrt{1-x}\right)^{2}$$

Extindeți \left(2\sqrt{1-x}\right)^{2}.

$$1-4x+4x^{2}=2^{2}\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$1-4x+4x^{2}=4\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{1-x} la puterea 2 și obțineți 1-x.

$$1-4x+4x^{2}=4\left(1-x\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu 1-x.

$$1-4x+4x^{2}=4-4x$$

Adăugați 4x la ambele părți.

$$1-4x+4x^{2}+4x=4$$

Combinați -4x cu 4x pentru a obține 0.

$$1+4x^{2}=4$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$4x^{2}=4-1$$

Scădeți 1 din 4 pentru a obține 3.

$$4x^{2}=3$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x^{2}=\frac{3}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{2} x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Înlocuiți x cu \frac{\sqrt{3}}{2} în ecuația \sqrt{1+x}=1+\sqrt{1-x}.

$$\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=1+\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

Simplificați. Valoarea x=\frac{\sqrt{3}}{2} corespunde ecuației.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 3^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Înlocuiți x cu -\frac{\sqrt{3}}{2} în ecuația \sqrt{1+x}=1+\sqrt{1-x}.

$$\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}=1+\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$$

Simplificați. Valoarea x=-\frac{\sqrt{3}}{2} nu respectă ecuația.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 3^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Înlocuiți x cu \frac{\sqrt{3}}{2} în ecuația \sqrt{1+x}=1+\sqrt{1-x}.

$$\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=1+\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

Simplificați. Valoarea x=\frac{\sqrt{3}}{2} corespunde ecuației.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 3^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Ecuația \sqrt{x+1}=\sqrt{1-x}+1 are o soluție unică.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$