Rezolvați sqrt{1/2+1/4+1/8+1/16+frac{1}{2}x}=x

$$\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } + \frac{ 1 }{ 16 } + \frac{ 1 }{ 2 } x } = x$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Pașii soluției

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Cel mai mic multiplu comun al lui 2 și 4 este 4. Faceți conversia pentru \frac{1}{2} și \frac{1}{4} în fracții cu numitorul 4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Deoarece \frac{2}{4} și \frac{1}{4} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Adunați 2 și 1 pentru a obține 3.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Cel mai mic multiplu comun al lui 4 și 8 este 8. Faceți conversia pentru \frac{3}{4} și \frac{1}{8} în fracții cu numitorul 8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Deoarece \frac{6}{8} și \frac{1}{8} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Adunați 6 și 1 pentru a obține 7.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Cel mai mic multiplu comun al lui 8 și 16 este 16. Faceți conversia pentru \frac{7}{8} și \frac{1}{16} în fracții cu numitorul 16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Deoarece \frac{14}{16} și \frac{1}{16} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Adunați 14 și 1 pentru a obține 15.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Calculați \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} la puterea 2 și obțineți \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu \frac{1}{2} și c cu \frac{15}{16} în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați \frac{1}{4} cu \frac{15}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -\frac{1}{2} cu 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

Împărțiți \frac{3}{2} la -2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 2 din -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

Împărțiți -\frac{5}{2} la -2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

Înlocuiți x cu -\frac{3}{4} în ecuația \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

Simplificați. Valoarea x=-\frac{3}{4} nu respectă ecuația, deoarece partea stângă și a semnului din dreapta au semne opuse.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Înlocuiți x cu \frac{5}{4} în ecuația \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

Simplificați. Valoarea x=\frac{5}{4} corespunde ecuației.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

Ecuația \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x are o soluție unică.

$$x=\frac{5}{4}$$