Rezolvați sqrt{x-5}=sqrt{3x+7}-4

$$\sqrt { x - 5 } = \sqrt { 3 x + 7 } - 4$$

Rezolvați pentru x

$$x=14$$

$$x=6$$

Pașii soluției

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}=\left(\sqrt{3x+7}-4\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x-5} la puterea 2 și obțineți x-5.

$$x-5=\left(\sqrt{3x+7}-4\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\sqrt{3x+7}-4\right)^{2}.

$$x-5=\left(\sqrt{3x+7}\right)^{2}-8\sqrt{3x+7}+16$$

Calculați \sqrt{3x+7} la puterea 2 și obțineți 3x+7.

$$x-5=3x+7-8\sqrt{3x+7}+16$$

Adunați 7 și 16 pentru a obține 23.

$$x-5=3x+23-8\sqrt{3x+7}$$

Scădeți 3x+23 din ambele părți ale ecuației.

$$x-5-\left(3x+23\right)=-8\sqrt{3x+7}$$

Pentru a găsi opusul lui 3x+23, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x-5-3x-23=-8\sqrt{3x+7}$$

Combinați x cu -3x pentru a obține -2x.

$$-2x-5-23=-8\sqrt{3x+7}$$

Scădeți 23 din -5 pentru a obține -28.

$$-2x-28=-8\sqrt{3x+7}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(-2x-28\right)^{2}=\left(-8\sqrt{3x+7}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-2x-28\right)^{2}.

$$4x^{2}+112x+784=\left(-8\sqrt{3x+7}\right)^{2}$$

Extindeți \left(-8\sqrt{3x+7}\right)^{2}.

$$4x^{2}+112x+784=\left(-8\right)^{2}\left(\sqrt{3x+7}\right)^{2}$$

Calculați -8 la puterea 2 și obțineți 64.

$$4x^{2}+112x+784=64\left(\sqrt{3x+7}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{3x+7} la puterea 2 și obțineți 3x+7.

$$4x^{2}+112x+784=64\left(3x+7\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 64 cu 3x+7.

$$4x^{2}+112x+784=192x+448$$

Scădeți 192x din ambele părți.

$$4x^{2}+112x+784-192x=448$$

Combinați 112x cu -192x pentru a obține -80x.

$$4x^{2}-80x+784=448$$

Scădeți 448 din ambele părți.

$$4x^{2}-80x+784-448=0$$

Scădeți 448 din 784 pentru a obține 336.

$$4x^{2}-80x+336=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -80 și c cu 336 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 4\times 336}}{2\times 4}$$

Ridicați -80 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 4\times 336}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-16\times 336}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 336.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-5376}}{2\times 4}$$

Adunați 6400 cu -5376.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{1024}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1024.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±32}{2\times 4}$$

Opusul lui -80 este 80.

$$x=\frac{80±32}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{80±32}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{80±32}{8} atunci când ± este plus. Adunați 80 cu 32.

$$x=\frac{112}{8}$$

Împărțiți 112 la 8.

$$x=14$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{80±32}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 32 din 80.

$$x=\frac{48}{8}$$

Împărțiți 48 la 8.

$$x=6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=14 x=6$$

Înlocuiți x cu 14 în ecuația \sqrt{x-5}=\sqrt{3x+7}-4.

$$\sqrt{14-5}=\sqrt{3\times 14+7}-4$$

Simplificați. Valoarea x=14 corespunde ecuației.

$$3=3$$

Înlocuiți x cu 6 în ecuația \sqrt{x-5}=\sqrt{3x+7}-4.

$$\sqrt{6-5}=\sqrt{3\times 6+7}-4$$

Simplificați. Valoarea x=6 corespunde ecuației.

$$1=1$$

Enumerați toate soluțiile ecuației \sqrt{x-5}=\sqrt{3x+7}-4.

$$x=14 x=6$$