Rezolvați sqrt{x-3}+sqrt{2x-2}=2

$$\sqrt { x - 3 } + \sqrt { 2 x - 2 } = 2$$

Rezolvați pentru x

$$x=3$$

Pașii soluției

Scădeți \sqrt{2x-2} din ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{x-3}=2-\sqrt{2x-2}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x-3} la puterea 2 și obțineți x-3.

$$x-3=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{2x-2} la puterea 2 și obțineți 2x-2.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+2x-2$$

Scădeți 2 din 4 pentru a obține 2.

$$x-3=2-4\sqrt{2x-2}+2x$$

Scădeți 2+2x din ambele părți ale ecuației.

$$x-3-\left(2+2x\right)=-4\sqrt{2x-2}$$

Pentru a găsi opusul lui 2+2x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x-3-2-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Scădeți 2 din -3 pentru a obține -5.

$$x-5-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Combinați x cu -2x pentru a obține -x.

$$-x-5=-4\sqrt{2x-2}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(-x-5\right)^{2}=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-x-5\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Extindeți \left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calculați -4 la puterea 2 și obțineți 16.

$$x^{2}+10x+25=16\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{2x-2} la puterea 2 și obțineți 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=16\left(2x-2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 16 cu 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=32x-32$$

Scădeți 32x din ambele părți.

$$x^{2}+10x+25-32x=-32$$

Combinați 10x cu -32x pentru a obține -22x.

$$x^{2}-22x+25=-32$$

Adăugați 32 la ambele părți.

$$x^{2}-22x+25+32=0$$

Adunați 25 și 32 pentru a obține 57.

$$x^{2}-22x+57=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-22x+57 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-22 ab=57$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 57.

$$-1,-57 -3,-19$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-57=-58 -3-19=-22$$

Soluția este perechea care dă suma de -22.

$$a=-19 b=-3$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-19\right)\left(x-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-19=0 și x-3=0.

$$x=19 x=3$$

Înlocuiți x cu 19 în ecuația \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{19-3}+\sqrt{2\times 19-2}=2$$

Simplificați. Valoarea x=19 nu respectă ecuația.

$$10=2$$

Înlocuiți x cu 3 în ecuația \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{3-3}+\sqrt{2\times 3-2}=2$$

Simplificați. Valoarea x=3 corespunde ecuației.

$$2=2$$

Ecuația \sqrt{x-3}=-\sqrt{2x-2}+2 are o soluție unică.

$$x=3$$