Rezolvați sqrt{x-1}-2=2sqrt{x+3}

$$\sqrt { x - 1 } - 2 = 2 \sqrt { x + 3 }$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}\approx -2,111111111-2,514157444i$$

Pașii soluției

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x-1} la puterea 2 și obțineți x-1.

$$x-1-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Adunați -1 și 4 pentru a obține 3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Extindeți \left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x+3} la puterea 2 și obțineți x+3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu x+3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4x+12$$

Scădeți x+3 din ambele părți ale ecuației.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-\left(x+3\right)$$

Pentru a găsi opusul lui x+3, găsiți opusul fiecărui termen.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-x-3$$

Combinați 4x cu -x pentru a obține 3x.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+12-3$$

Scădeți 3 din 12 pentru a obține 9.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+9$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Extindeți \left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Calculați -4 la puterea 2 și obțineți 16.

$$16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x-1} la puterea 2 și obțineți x-1.

$$16\left(x-1\right)=\left(3x+9\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 16 cu x-1.

$$16x-16=\left(3x+9\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x+9\right)^{2}.

$$16x-16=9x^{2}+54x+81$$

Scădeți 9x^{2} din ambele părți.

$$16x-16-9x^{2}=54x+81$$

Scădeți 54x din ambele părți.

$$16x-16-9x^{2}-54x=81$$

Combinați 16x cu -54x pentru a obține -38x.

$$-38x-16-9x^{2}=81$$

Scădeți 81 din ambele părți.

$$-38x-16-9x^{2}-81=0$$

Scădeți 81 din -16 pentru a obține -97.

$$-38x-97-9x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-9x^{2}-38x-97=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -9, b cu -38 și c cu -97 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Ridicați -38 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -9.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444+36\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Înmulțiți 36 cu -97.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-3492}}{2\left(-9\right)}$$

Adunați 1444 cu -3492.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{-2048}}{2\left(-9\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -2048.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

Opusul lui -38 este 38.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -9.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18} atunci când ± este plus. Adunați 38 cu 32i\sqrt{2}.

$$x=\frac{38+32\sqrt{2}i}{-18}$$

Împărțiți 38+32i\sqrt{2} la -18.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18} atunci când ± este minus. Scădeți 32i\sqrt{2} din 38.

$$x=\frac{-32\sqrt{2}i+38}{-18}$$

Împărțiți 38-32i\sqrt{2} la -18.

$$x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Înlocuiți x cu \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} în ecuația \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Simplificați. Valoarea x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} corespunde ecuației.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Înlocuiți x cu \frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} în ecuația \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}+3}$$

Simplificați. Valoarea x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} nu respectă ecuația.

$$-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Înlocuiți x cu \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} în ecuația \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Simplificați. Valoarea x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} corespunde ecuației.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Ecuația \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3} are o soluție unică.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$