Rezolvați sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Pașii soluției

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x^{2}-1} la puterea 2 și obțineți x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{2x+1} la puterea 2 și obțineți 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Scădeți 2x din ambele părți.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Scădeți 1 din -1 pentru a obține -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -2 și c cu -2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Adunați 4 cu 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Împărțiți 2+2\sqrt{3} la 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{3} din 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Împărțiți 2-2\sqrt{3} la 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Înlocuiți x cu \sqrt{3}+1 în ecuația \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Simplificați. Valoarea x=\sqrt{3}+1 corespunde ecuației.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Înlocuiți x cu 1-\sqrt{3} în ecuația \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Simplificați. Valoarea x=1-\sqrt{3} corespunde ecuației.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Enumerați toate soluțiile ecuației \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Rezolvați pentru x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Pașii soluției

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x^{2}-1} la puterea 2 și obțineți x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{2x+1} la puterea 2 și obțineți 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Scădeți 2x din ambele părți.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Scădeți 1 din -1 pentru a obține -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -2 și c cu -2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Adunați 4 cu 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Împărțiți 2+2\sqrt{3} la 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{3} din 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Împărțiți 2-2\sqrt{3} la 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Înlocuiți x cu \sqrt{3}+1 în ecuația \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Simplificați. Valoarea x=\sqrt{3}+1 corespunde ecuației.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Înlocuiți x cu 1-\sqrt{3} în ecuația \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. Expresia \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} este nedefinită, deoarece radicand nu poate fi negativ.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Ecuația \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} are o soluție unică.

$$x=\sqrt{3}+1$$