Rezolvați sqrt{x+6}-sqrt{9x+70}=-2sqrt{x+9}

$$\sqrt { x + 6 } - \sqrt { 9 x + 70 } = - 2 \sqrt { x + 9 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-5$$

Pașii soluției

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x+6} la puterea 2 și obțineți x+6.

$$x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{9x+70} la puterea 2 și obțineți 9x+70.

$$x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+9x+70=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Combinați x cu 9x pentru a obține 10x.

$$10x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+70=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Adunați 6 și 70 pentru a obține 76.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Extindeți \left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Calculați -2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4\left(\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x+9} la puterea 2 și obțineți x+9.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4\left(x+9\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu x+9.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36$$

Scădeți 10x+76 din ambele părți ale ecuației.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36-\left(10x+76\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 10x+76, găsiți opusul fiecărui termen.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36-10x-76$$

Combinați 4x cu -10x pentru a obține -6x.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=-6x+36-76$$

Scădeți 76 din 36 pentru a obține -40.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=-6x-40$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Extindeți \left(-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Calculați -2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$4\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x+6} la puterea 2 și obțineți x+6.

$$4\left(x+6\right)\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{9x+70} la puterea 2 și obțineți 9x+70.

$$4\left(x+6\right)\left(9x+70\right)=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu x+6.

$$\left(4x+24\right)\left(9x+70\right)=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Aplicați proprietatea distributivă prin înmulțirea fiecărui termen de 4x+24 la fiecare termen de 9x+70.

$$36x^{2}+280x+216x+1680=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Combinați 280x cu 216x pentru a obține 496x.

$$36x^{2}+496x+1680=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-6x-40\right)^{2}.

$$36x^{2}+496x+1680=36x^{2}+480x+1600$$

Scădeți 36x^{2} din ambele părți.

$$36x^{2}+496x+1680-36x^{2}=480x+1600$$

Combinați 36x^{2} cu -36x^{2} pentru a obține 0.

$$496x+1680=480x+1600$$

Scădeți 480x din ambele părți.

$$496x+1680-480x=1600$$

Combinați 496x cu -480x pentru a obține 16x.

$$16x+1680=1600$$

Scădeți 1680 din ambele părți.

$$16x=1600-1680$$

Scădeți 1680 din 1600 pentru a obține -80.

$$16x=-80$$

Se împart ambele părți la 16.

$$x=\frac{-80}{16}$$

Împărțiți -80 la 16 pentru a obține -5.

$$x=-5$$

Înlocuiți x cu -5 în ecuația \sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}=-2\sqrt{x+9}.

$$\sqrt{-5+6}-\sqrt{9\left(-5\right)+70}=-2\sqrt{-5+9}$$

Simplificați. Valoarea x=-5 corespunde ecuației.

$$-4=-4$$

Ecuația \sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}=-2\sqrt{x+9} are o soluție unică.

$$x=-5$$