Rezolvați sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11}

$$\sqrt { x + 3 } + \sqrt { x + 6 } = \sqrt { x + 11 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-2$$

Pașii soluției

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x+3} la puterea 2 și obțineți x+3.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x+6} la puterea 2 și obțineți x+6.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Combinați x cu x pentru a obține 2x.

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Adunați 3 și 6 pentru a obține 9.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x+11} la puterea 2 și obțineți x+11.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

Scădeți 2x+9 din ambele părți ale ecuației.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 2x+9, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

Combinați x cu -2x pentru a obține -x.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

Scădeți 9 din 11 pentru a obține 2.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Extindeți \left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x+3} la puterea 2 și obțineți x+3.

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x+6} la puterea 2 și obțineți x+6.

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu x+3.

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Aplicați proprietatea distributivă prin înmulțirea fiecărui termen de 4x+12 la fiecare termen de x+6.

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Combinați 24x cu 12x pentru a obține 36x.

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

Combinați 4x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

Adăugați 4x la ambele părți.

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

Combinați 36x cu 4x pentru a obține 40x.

$$3x^{2}+40x+72=4$$

Scădeți 4 din ambele părți.

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

Scădeți 4 din 72 pentru a obține 68.

$$3x^{2}+40x+68=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx+68. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 204.

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

Soluția este perechea care dă suma de 40.

$$a=6 b=34$$

Rescrieți 3x^{2}+40x+68 ca \left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

Factor 3x în primul și 34 în al doilea grup.

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

Scoateți termenul comun x+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+2=0 și 3x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

Înlocuiți x cu -\frac{34}{3} în ecuația \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}. Expresia \sqrt{-\frac{34}{3}+3} este nedefinită, deoarece radicand nu poate fi negativ.

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

Înlocuiți x cu -2 în ecuația \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}.

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

Simplificați. Valoarea x=-2 corespunde ecuației.

$$3=3$$

Ecuația \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} are o soluție unică.

$$x=-2$$