Rezolvați sqrt{x+2}-sqrt{2x-3}=1

$$\sqrt { x + 2 } - \sqrt { 2 x - 3 } = 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=2$$

Pașii soluției

Scădeți -\sqrt{2x-3} din ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{x+2}=1+\sqrt{2x-3}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-3}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x+2} la puterea 2 și obțineți x+2.

$$x+2=\left(1+\sqrt{2x-3}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(1+\sqrt{2x-3}\right)^{2}.

$$x+2=1+2\sqrt{2x-3}+\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{2x-3} la puterea 2 și obțineți 2x-3.

$$x+2=1+2\sqrt{2x-3}+2x-3$$

Scădeți 3 din 1 pentru a obține -2.

$$x+2=-2+2\sqrt{2x-3}+2x$$

Scădeți -2+2x din ambele părți ale ecuației.

$$x+2-\left(-2+2x\right)=2\sqrt{2x-3}$$

Pentru a găsi opusul lui -2+2x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x+2+2-2x=2\sqrt{2x-3}$$

Adunați 2 și 2 pentru a obține 4.

$$x+4-2x=2\sqrt{2x-3}$$

Combinați x cu -2x pentru a obține -x.

$$-x+4=2\sqrt{2x-3}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(-x+4\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-3}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-x+4\right)^{2}.

$$x^{2}-8x+16=\left(2\sqrt{2x-3}\right)^{2}$$

Extindeți \left(2\sqrt{2x-3}\right)^{2}.

$$x^{2}-8x+16=2^{2}\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$x^{2}-8x+16=4\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{2x-3} la puterea 2 și obțineți 2x-3.

$$x^{2}-8x+16=4\left(2x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu 2x-3.

$$x^{2}-8x+16=8x-12$$

Scădeți 8x din ambele părți.

$$x^{2}-8x+16-8x=-12$$

Combinați -8x cu -8x pentru a obține -16x.

$$x^{2}-16x+16=-12$$

Adăugați 12 la ambele părți.

$$x^{2}-16x+16+12=0$$

Adunați 16 și 12 pentru a obține 28.

$$x^{2}-16x+28=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-16x+28 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-16 ab=28$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Soluția este perechea care dă suma de -16.

$$a=-14 b=-2$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-14\right)\left(x-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-14=0 și x-2=0.

$$x=14 x=2$$

Înlocuiți x cu 14 în ecuația \sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=1.

$$\sqrt{14+2}-\sqrt{2\times 14-3}=1$$

Simplificați. Valoarea x=14 nu respectă ecuația, deoarece partea stângă și a semnului din dreapta au semne opuse.

$$-1=1$$

Înlocuiți x cu 2 în ecuația \sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=1.

$$\sqrt{2+2}-\sqrt{2\times 2-3}=1$$

Simplificați. Valoarea x=2 corespunde ecuației.

$$1=1$$

Ecuația \sqrt{x+2}=\sqrt{2x-3}+1 are o soluție unică.

$$x=2$$