Rezolvați sqrt{x+1}-sqrt{9-x}=sqrt{2x-12}

$$\sqrt { x + 1 } - \sqrt { 9 - x } = \sqrt { 2 x - 12 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=8$$

$$x=7$$

Pașii soluției

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x-12}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}+\left(\sqrt{9-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x-12}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x+1} la puterea 2 și obțineți x+1.

$$x+1-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}+\left(\sqrt{9-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x-12}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{9-x} la puterea 2 și obțineți 9-x.

$$x+1-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}+9-x=\left(\sqrt{2x-12}\right)^{2}$$

Adunați 1 și 9 pentru a obține 10.

$$x+10-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}-x=\left(\sqrt{2x-12}\right)^{2}$$

Combinați x cu -x pentru a obține 0.

$$10-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}=\left(\sqrt{2x-12}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{2x-12} la puterea 2 și obțineți 2x-12.

$$10-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}=2x-12$$

Scădeți 10 din ambele părți ale ecuației.

$$-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}=2x-12-10$$

Scădeți 10 din -12 pentru a obține -22.

$$-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}=2x-22$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}\right)^{2}=\left(2x-22\right)^{2}$$

Extindeți \left(-2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}\left(\sqrt{9-x}\right)^{2}=\left(2x-22\right)^{2}$$

Calculați -2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$4\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}\left(\sqrt{9-x}\right)^{2}=\left(2x-22\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x+1} la puterea 2 și obțineți x+1.

$$4\left(x+1\right)\left(\sqrt{9-x}\right)^{2}=\left(2x-22\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{9-x} la puterea 2 și obțineți 9-x.

$$4\left(x+1\right)\left(9-x\right)=\left(2x-22\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu x+1.

$$\left(4x+4\right)\left(9-x\right)=\left(2x-22\right)^{2}$$

Aplicați proprietatea distributivă prin înmulțirea fiecărui termen de 4x+4 la fiecare termen de 9-x.

$$36x-4x^{2}+36-4x=\left(2x-22\right)^{2}$$

Combinați 36x cu -4x pentru a obține 32x.

$$32x-4x^{2}+36=\left(2x-22\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x-22\right)^{2}.

$$32x-4x^{2}+36=4x^{2}-88x+484$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$32x-4x^{2}+36-4x^{2}=-88x+484$$

Combinați -4x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține -8x^{2}.

$$32x-8x^{2}+36=-88x+484$$

Adăugați 88x la ambele părți.

$$32x-8x^{2}+36+88x=484$$

Combinați 32x cu 88x pentru a obține 120x.

$$120x-8x^{2}+36=484$$

Scădeți 484 din ambele părți.

$$120x-8x^{2}+36-484=0$$

Scădeți 484 din 36 pentru a obține -448.

$$120x-8x^{2}-448=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-8x^{2}+120x-448=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -8, b cu 120 și c cu -448 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-120±\sqrt{120^{2}-4\left(-8\right)\left(-448\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Ridicați 120 la pătrat.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-4\left(-8\right)\left(-448\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -8.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400+32\left(-448\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 32 cu -448.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-14336}}{2\left(-8\right)}$$

Adunați 14400 cu -14336.

$$x=\frac{-120±\sqrt{64}}{2\left(-8\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 64.

$$x=\frac{-120±8}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -8.

$$x=\frac{-120±8}{-16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-120±8}{-16} atunci când ± este plus. Adunați -120 cu 8.

$$x=-\frac{112}{-16}$$

Împărțiți -112 la -16.

$$x=7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-120±8}{-16} atunci când ± este minus. Scădeți 8 din -120.

$$x=-\frac{128}{-16}$$

Împărțiți -128 la -16.

$$x=8$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=7 x=8$$

Înlocuiți x cu 7 în ecuația \sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}=\sqrt{2x-12}.

$$\sqrt{7+1}-\sqrt{9-7}=\sqrt{2\times 7-12}$$

Simplificați. Valoarea x=7 corespunde ecuației.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Înlocuiți x cu 8 în ecuația \sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}=\sqrt{2x-12}.

$$\sqrt{8+1}-\sqrt{9-8}=\sqrt{2\times 8-12}$$

Simplificați. Valoarea x=8 corespunde ecuației.

$$2=2$$

Enumerați toate soluțiile ecuației \sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}=\sqrt{2x-12}.

$$x=7 x=8$$